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假设某企业在两个相互分割的市场上出售同一种产品,两个市场的需求函数分别是p1=18—2Q1,p2=12一Q2,其中p1和p2分别表示该产品在两个市场的价格(单位:万元/吨),Q1和Q2分别表示该产品在两个市场的销售量(即需求量,单位:吨),并且该企业生产这
假设某企业在两个相互分割的市场上出售同一种产品,两个市场的需求函数分别是p1=18—2Q1,p2=12一Q2,其中p1和p2分别表示该产品在两个市场的价格(单位:万元/吨),Q1和Q2分别表示该产品在两个市场的销售量(即需求量,单位:吨),并且该企业生产这
admin
2019-03-22
54
问题
假设某企业在两个相互分割的市场上出售同一种产品,两个市场的需求函数分别是p
1
=18—2Q
1
,p
2
=12一Q
2
,其中p
1
和p
2
分别表示该产品在两个市场的价格(单位:万元/吨),Q
1
和Q
2
分别表示该产品在两个市场的销售量(即需求量,单位:吨),并且该企业生产这种产品的总成本函数是C=2Q+5,其中Q表示该产品在两个市场的销售总量,即Q=Q
1
+Q
2
.
如果该企业实行价格无差别策略,试确定两个市场上该产品的销售量及其统一的价格,使该企业的总利润最大化,并比较两种价格策略下的总利润大小.
选项
答案
解一 若实行价格无差别策略,则p
1
=p
2
,于是有约束条件2Q
1
-Q
2
=6. 构造拉格朗日函数 F(Q
1
,Q
2
,λ)=-2Q
1
2
-Q
2
2
+16Q
1
+10Q
2
-5+λ(2Q
1
-Q
2
-6). 令[*] 解得Q
1
=5(吨),Q
2
=4(吨),λ=2,则统一价格p
1
=p
2
=8(万元/吨). 因驻点(5,4)唯一,且实际问题一定存在最大利润,故最大利润必在驻点处达到.最大利润为L=-2×5
2
-4
2
+16×5+10×4-5-49(万元). 由上述结果可知,企业实行差别定价所得最大总利润要大于统一定价时的最大总利润. 解二 也可不用拉格朗日乘数法求之.若实行价格无差别策略,则 p
1
=p
2
, 即 18-2Q
1
=12-Q
2
, 亦即 2Q
1
-Q
2
=6. 于是Q
2
=2Q
1
-6=2(Q
1
-3).将其代入总利润函数中得到 L=-2Q
1
2
-4(Q
1
-3)
2
+16Q
1
+20(Q
1
-3)-5. 令[*]=-4Q
1
-8(Q
1
-3)+16+20=0,得到Q
1
=5(吨).于是Q
2
=2×5-6=4(吨),则统一价格为 p
1
=18-2Q
1
=12-Q
2
=8(万元/吨). 因驻点(5,4)唯一,且实际问题一定存在最大利润,故最大利润为 L=-2×5
2
-4
2
+16×5+10×4-549(万元). 由上述结果知,企业实行差别定价所得最大总利润要大于统一定价时的最大总利润.
解析
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考研数学三
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