设A与B均为正交矩阵，并且｜A｜+｜B｜=0．证明：A+B不可逆．

admin2016-07-22 31

问题设A与B均为正交矩阵，并且｜A｜+｜B｜=0．证明：A+B不可逆．

选项

答案由AA⁴=E有｜A｜²=1，因此，正交矩阵的行列式为1或-1．由｜A｜+｜B｜=0有｜A｜｜B｜=-1，也有｜A^T｜.｜B^T｜=-1．再考虑到｜A^T(A+B)B^T｜=｜A^T+B^T｜=｜A+B｜，所以-｜A+B｜=｜A+B｜，｜A+B｜=0．故A+B不可逆．

解析

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考研数学一

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