设A是n阶矩阵，满足A2=A，且r(A)=r(0＜r≤n)．证明：其中Er是r阶单位阵．

admin2015-08-17 32

问题设A是n阶矩阵，满足A²=A，且r(A)=r(0＜r≤n)．证明：

其中E_r是r阶单位阵．

选项

答案A²=A，A的特征值的取值为1，0，由A—A²=A(E一A)=0知 r(A)+r(E一A)≤n， r(A)+r(E—A)≥r(A+E—A)=r(E)=n，故r(A)+r(E一A)=n，r(A)=r，从而r(E—A)=n—r．对λ=1，(E--A)X=0，因r(E-A)=n一r，故有r个线性无关特征向量，设为ξ₁，ξ₂，……ξ_r；对λ=0，(OE-A)X=0，即AX=0，因r(A)=r，有n一r个线性无关特征向量，设为ξ_r+1，ξ_r+2，……ξ_n．故存在可逆阵P=[ξ₁，ξ₂，……ξ_n]，使得[*]

解析

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