设X和Y相互独立且均服从0-1分布,P{X=1}=P{Y=1}=0.6.试证明:U=X+Y,V=X-Y不相关且不独立.

admin2018-09-25  14

问题 设X和Y相互独立且均服从0-1分布,P{X=1}=P{Y=1}=0.6.试证明:U=X+Y,V=X-Y不相关且不独立.

选项

答案由协方差的定义和性质,以及X和Y相互独立,可知 Coy(U,V)=E(UV)-EUEV=E(X2-Y2)-E(X+Y)E(X-Y)=E(X2)-E(Y2)=0, 于是U=X+Y,V=X-Y不相关. 现在证明U=X+Y,V=X-Y不独立.事实上,由 P{U=0}=P{X=0,Y=0}=P{X=0}P{Y=0}=0.16, P{V=0}=P{X=0,Y=0}+P{X=1,Y=1} =P{X=0}P{Y=0}+P{X=1}P{Y=1}=0.52, P{U=0,V=0}=P{X=0,Y=0}=P{X=0}P{Y=0} =0.16≠0.16×0.52=P{U=0}P{V=0}, 可见U和V不独立.

解析
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