设f(χ)在(-∞,+∞)是连续函数, (Ⅰ) 求初值的解y=φ(χ); (Ⅱ) 求证y(χ)=∫0χφ(t)f(χ-t)dt是初值问题的解; (Ⅲ) 求y〞+y′=f(χ)的通解.

admin2018-06-12  49

问题 设f(χ)在(-∞,+∞)是连续函数,
    (Ⅰ)  求初值的解y=φ(χ);
    (Ⅱ)  求证y(χ)=∫0χφ(t)f(χ-t)dt是初值问题的解;
    (Ⅲ)  求y〞+y′=f(χ)的通解.

选项

答案(Ⅰ)作为二阶线性常系数齐次方程的初值问题来求解. 特征方程λ2+λ=0,特征根λ=0,λ=-1,于是通解为y=C1+C2e-χ.由初值[*]C1=1,C2=-1.因此, y=φ(χ)=1-e-χ. (Ⅱ)将φ(χ)=1-e-χ代入y(χ)表达式得 y(χ)=∫0χ(1-e-t)f(χ-t)dt. ① 下证y(χ)满足方程与初值,就要计算y′(χ)与y〞(χ).y(χ)是由变限积分定义的函数,由于被积函数含参变量χ,故先作变量替换 y(χ)=[*]∫0χ(1-es-χ)f(s)ds=∫0χf(s)ds-e-χ0χesf(s)ds. 现可用变限积分求导法得 y′(χ)=f(χ)-e-χeχf(χ)+e-χ0χesf(s)ds=e-χ0χesf(s)ds, ② y〞(χ)=-e-χ0χesf(s)ds+f(χ). 两式相加得y〞+t′=f(χ). 在①,②中令χ=0得y(0)=0,y′(0)=0. (Ⅲ)由二阶线性非齐次方程通解的结构,并用题(Ⅰ)与题(Ⅱ)知,y〞+y′=f(χ)的通解是 y=C1+C2e-χ+∫0χ(1-e-t)f(χ-t)dt.

解析
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