2. 考研
  3. 设x∈(0，1)，证明下面不等式： (1)(1+x)in2(1+x)＜x2； (2)

设x∈(0，1)，证明下面不等式： (1)(1+x)in2(1+x)＜x2； (2)

admin2018-09-25  23
问题 设x∈(0，1)，证明下面不等式：
(1)(1+x)in2(1+x)＜x2；
(2)
选项
答案(1)令φ(x)=x2－(1+x)ln2(1+x)，有φ(0)=0，且 φ’(x)=2x－ln2(1+x)－21n(1+x)，φ’(0)=0． 当x∈(0，1)时， [*] 知φ’(x)单调递增，从而φ’(x)＞φ’(0)=0，则φ(x)单调递增，则 φ(x)＞φ(0)=0，即(1+x)ln2(1+x)＜x2． (2)令 [*] 由(1)得，当x∈(0，1)时f’(x)＜0，知f(x)单调递减，从而f(x)＞f(1)=[*] 又因为 [*] 又f(x)单调递减，则f(x)＜f(0+)=[*]， 所以 [*]
解析
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考研数学一

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