2. 考研
  3. 设f(x)在(0，+∞)三次可导，且当x∈(0，+∞)时 ｜f(x)｜≤M0， ｜f"’(x)｜≤M3， 其中M0，M3为非负常数，求证f"(x)在(0，+∞)上有界．

设f(x)在(0，+∞)三次可导，且当x∈(0，+∞)时 ｜f(x)｜≤M0， ｜f"’(x)｜≤M3， 其中M0，M3为非负常数，求证f"(x)在(0，+∞)上有界．

admin2018-11-21  46
问题 设f(x)在(0，+∞)三次可导，且当x∈(0，+∞)时
    ｜f(x)｜≤M0，  ｜f"’(x)｜≤M3，
其中M0，M3为非负常数，求证f"(x)在(0，+∞)上有界．
选项
答案分别讨论x＞1与0＜x≤1两种情形． 1)当x＞1时考察二阶泰勒公式 f(x+1)=f(x)+f’(x)+[*]f"’(ξ) (x＜ξ＜x+1)， f(x一1)=f(x)一f’(x)+[*]f"’(η) (x一1＜η＜x)， 两式相加并移项即得 f"(x)=f(x+1)+f(x一1)一2f(x)+[*][f"’(η)一f"’(ξ)]， 则当x＞1时有｜f"(x)｜≤4M0+[*]M3． 2)当0＜x≤1时对f"(x)用拉格朗日中值定理，有 f"(x)=f"(x)一f"(1)+f"(1)=f"’(ξ)(x一1)+f"(1)，其中ξ∈(x，1)． → ｜f"(x)｜≤｜f"’(ξ)｜｜x一1｜+｜f"(1)｜≤M3+｜f"(1)｜ (x∈(0，1])． 综合即知f"(x)在(0，+∞)上有界．
解析
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考研数学一

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