设y1=ex/2+e-x+ex，y2=2e-x+ex，y3=ex/2+ex是某二阶常系数非齐次线性方程的解，则该方程的通解是 ( )

admin2021-02-25 77

问题设y₁=e^x/2+e^-x+e^x，y₂=2e^-x+e^x，y₃=e^x/2+e^x是某二阶常系数非齐次线性方程的解，则该方程的通解是 ( )

选项 A、C₁e^x/2+C₂e^-x+2e^x/2+e^-x+e^x
B、C₁e^x/2+C₂e^-x+2e^x+e^-x
C、C₁e^x+C₂e^-x+3e^x/2
D、C₁e^x/2+C₂e^-x+2e^x

答案A

解析由解的结构定理，知y₁-y₃=e^-x是对应的齐次方程的解．y₁-y₂=e^x/2-e^-x也是对应的齐次方程的解．
从而Y=e^x/2是齐次方程的解，且e^x/2与e^-x线性无关．
即对应的齐次方程的通解为y=C₁e^x/2+C₂e^-x．
又y^*=4y₁-y₂-2y₃=2e^x/2+e^-x+e^x为非齐次方程的解，综上，应选A．

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