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已知F(t)=f(x2+y2+z2)dv,其中f可微,Ω:x2+y2+z2≤t2,求F’(t).
已知F(t)=f(x2+y2+z2)dv,其中f可微,Ω:x2+y2+z2≤t2,求F’(t).
admin
2022-07-21
70
问题
已知F(t)=
f(x
2
+y
2
+z
2
)dv,其中f可微,Ω:x
2
+y
2
+z
2
≤t
2
,求F’(t).
选项
答案
从被积函数和积分区域判定用球坐标计算,Ω表示为Ω={(r,φ,θ)|0≤r≤|t|,0≤φ≤π,0≤θ≤2π),故 f(f)=[*]f(x
2
+y
2
+z
2
)dv=[*]f(r
2
)r
2
sinφdrdφdθ =∫
0
2π
dθ∫
0
π
dφ∫
0
|t|
f(r
2
) r
2
sinφdr=4π∫
0
|t|
f(r
2
)r
2
dr 当t>0时,F(t)=4π∫
0
t
f(r
2
)r
2
dr,F’(t)=4πf(t
2
)t
2
; 当t<0时,F(t)=4π∫
0
-t
f(r
2
)r
2
dr,F’(t)=-4πf(t
2
)t
2
; 当t=0时,F(0)=0,F’
+
(0)=[*] 同理得F’
-
(0)=0,故F’
-
(0)=F’
+
(0)=F’(0).
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/qUf4777K
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考研数学二
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