2. 考研
  3. 已知F(t)=f(x2+y2+z2)dv，其中f可微，Ω：x2+y2+z2≤t2，求F’(t)．

已知F(t)=f(x2+y2+z2)dv，其中f可微，Ω：x2+y2+z2≤t2，求F’(t)．

admin2022-07-21  52
问题 已知F(t)=f(x2+y2+z2)dv，其中f可微，Ω：x2+y2+z2≤t2，求F’(t)．
选项
答案从被积函数和积分区域判定用球坐标计算，Ω表示为Ω={(r，φ，θ)｜0≤r≤｜t｜，0≤φ≤π，0≤θ≤2π)，故 f(f)=[*]f(x2+y2+z2)dv=[*]f(r2)r2sinφdrdφdθ =∫02πdθ∫0πdφ∫0｜t｜f(r2) r2sinφdr=4π∫0｜t｜f(r2)r2dr 当t＞0时，F(t)=4π∫0tf(r2)r2dr，F’(t)=4πf(t2)t2； 当t＜0时，F(t)=4π∫0-tf(r2)r2dr，F’(t)=-4πf(t2)t2； 当t=0时，F(0)=0，F’+(0)=[*] 同理得F’-(0)=0，故F’-(0)=F’+(0)=F’(0)．
解析
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考研数学二

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