[2011年] 设平面区域D由直线y=x，圆x2+y2=2y及y轴所围成，如图1．5．2．2所示，则二重积分xydσ=_________．

admin2019-05-10 77

问题 [2011年] 设平面区域D由直线y=x，圆x²+y²=2y及y轴所围成，如图1．5．2．2所示，则二重积分

xydσ=_________．

选项

答案将积分区域用极坐标表示，然后将二重积分化为极坐标系中的累次积分．由题设条件知，积分区域D={(r，θ)∣π／4≤θ≤π／2，0≤r≤2sinθ}，则 [*]xydσ=∫_π/4^π/2dθ∫₀^2sinθr³sinθcosθdr=∫_π/4^π/2([*]r⁴∣₀^2sinθ)sinθcosθdθ =4∫_π/4^π/2sin⁵θdsinθ=[*].

解析

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