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设函数f(x)满足xf′(x)-2f(x)=-x,且由曲线y=f(x),x=1及x轴(x≥0)所围成的平面图形为D.若D绕x轴旋转一周所得旋转体体积最小,求: (1)曲线y=f(x); (2)曲线在原点处的切线与曲线及直线x=1所围成的半面图形的面积.
设函数f(x)满足xf′(x)-2f(x)=-x,且由曲线y=f(x),x=1及x轴(x≥0)所围成的平面图形为D.若D绕x轴旋转一周所得旋转体体积最小,求: (1)曲线y=f(x); (2)曲线在原点处的切线与曲线及直线x=1所围成的半面图形的面积.
admin
2021-12-14
12
问题
设函数f(x)满足xf′(x)-2f(x)=-x,且由曲线y=f(x),x=1及x轴(x≥0)所围成的平面图形为D.若D绕x轴旋转一周所得旋转体体积最小,求:
(1)曲线y=f(x);
(2)曲线在原点处的切线与曲线及直线x=1所围成的半面图形的面积.
选项
答案
(1)由xf′(x)=2f(x)=-x[*]f′(x)-(2/x)f(x)=-1[*]f(x)=x+cx
2
. 设平面图形D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为V,则 V(c)=π∫
0
1
(x+cx
2
)
2
dx=π(1/3+c/2+c
2
/5),V′(c)=π(1/2+2/5c)=0[*]c=-5/4, 因为V″(c)=2π/5>0,所以C=-5/4为V(c)的最小值点,且曲线方程为f(x)=x-5/4x
2
. (2)f′(x)=1-5/2x,f′(0)=1,曲线f(x)=x-5/4x
2
在原点处的切线方程为y=x, 则A=∫
0
1
[x-(x-5/4x
2
)]dx=5/12.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/qVl4777K
0
考研数学一
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