2. 考研
  3. 设函数f(x)满足xf′(x)-2f(x)=-x，且由曲线y=f(x)，x=1及x轴(x≥0)所围成的平面图形为D.若D绕x轴旋转一周所得旋转体体积最小，求： (1)曲线y=f(x)； (2)曲线在原点处的切线与曲线及直线x=1所围成的半面图形的面积.

设函数f(x)满足xf′(x)-2f(x)=-x，且由曲线y=f(x)，x=1及x轴(x≥0)所围成的平面图形为D.若D绕x轴旋转一周所得旋转体体积最小，求： (1)曲线y=f(x)； (2)曲线在原点处的切线与曲线及直线x=1所围成的半面图形的面积.

admin2021-12-14  10
问题 设函数f(x)满足xf′(x)-2f(x)=-x，且由曲线y=f(x)，x=1及x轴(x≥0)所围成的平面图形为D.若D绕x轴旋转一周所得旋转体体积最小，求：
(1)曲线y=f(x)；
(2)曲线在原点处的切线与曲线及直线x=1所围成的半面图形的面积.
选项
答案(1)由xf′(x)=2f(x)=-x[*]f′(x)-(2/x)f(x)=-1[*]f(x)=x+cx2. 设平面图形D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为V，则 V(c)=π∫01(x+cx2)2dx=π(1/3+c/2+c2/5)，V′(c)=π(1/2+2/5c)=0[*]c=-5/4， 因为V″(c)=2π/5＞0，所以C=-5/4为V(c)的最小值点，且曲线方程为f(x)=x-5/4x2. (2)f′(x)=1-5/2x，f′(0)=1，曲线f(x)=x-5/4x2在原点处的切线方程为y=x， 则A=∫01[x-(x-5/4x2)]dx=5/12.
解析
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考研数学一

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