2. 考研
  3. 设f(x)在闭区间[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0,0＜f’(x)＜1. 证明：[∫01f(x)dx]2＞∫01[f(x)]3dx.

设f(x)在闭区间[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0,0＜f’(x)＜1. 证明：[∫01f(x)dx]2＞∫01[f(x)]3dx.

admin2022-03-14  56
问题 设f(x)在闭区间[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0,0＜f’(x)＜1.
证明：[∫01f(x)dx]2＞∫01[f(x)]3dx.
选项
答案令ψ(x)=[∫0xf(t)dt]2－∫0x[f(t)]3dt，有 ψ’(x)=2∫0xf(t)dt·f(x)－[f(x)]3=f(x){2∫0xf(t)dt－[f(x)]2} 再令ψ(x)=2∫0xf(t)dt－[f(x)]2 有ψ’(x)=2f(x)－2f(x)f’(x)=2f(x)[1－f’(x)]. 由于f(0)=0,且当x∈(0,1)时,0＜f’(x)＜1,所以当x∈(0,1)时，f(x)＞f(0)=0. 于是当x∈(0,1)时，ψ’(x)＞0，再由ψ(0)=0，得 ψ(x)=2∫0xf(t)dt－[f(x)]2＞0，x∈(0,1). 所以ψ’(x)＞0,x∈(0,1),再由ψ(0)=0时，知当0＜x≤1时， ψ(x)=[∫0xf(t)dt]2－∫0x[f(t)]3dt＞0 所以[∫01f(t)dt]2＞∫01[f(t)]3dt.
解析
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考研数学三

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