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设f(x)在闭区间[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=0,0<f’(x)<1. 证明:[∫01f(x)dx]2>∫01[f(x)]3dx.
设f(x)在闭区间[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=0,0<f’(x)<1. 证明:[∫01f(x)dx]2>∫01[f(x)]3dx.
admin
2022-03-14
67
问题
设f(x)在闭区间[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=0,0<f’(x)<1.
证明:[∫
0
1
f(x)dx]
2
>∫
0
1
[f(x)]
3
dx.
选项
答案
令ψ(x)=[∫
0
x
f(t)dt]
2
-∫
0
x
[f(t)]
3
dt,有 ψ’(x)=2∫
0
x
f(t)dt·f(x)-[f(x)]
3
=f(x){2∫
0
x
f(t)dt-[f(x)]
2
} 再令ψ(x)=2∫
0
x
f(t)dt-[f(x)]
2
有ψ’(x)=2f(x)-2f(x)f’(x)=2f(x)[1-f’(x)]. 由于f(0)=0,且当x∈(0,1)时,0<f’(x)<1,所以当x∈(0,1)时,f(x)>f(0)=0. 于是当x∈(0,1)时,ψ’(x)>0,再由ψ(0)=0,得 ψ(x)=2∫
0
x
f(t)dt-[f(x)]
2
>0,x∈(0,1). 所以ψ’(x)>0,x∈(0,1),再由ψ(0)=0时,知当0<x≤1时, ψ(x)=[∫
0
x
f(t)dt]
2
-∫
0
x
[f(t)]
3
dt>0 所以[∫
0
1
f(t)dt]
2
>∫
0
1
[f(t)]
3
dt.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/qbR4777K
0
考研数学三
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