一阶常系数差分方程yt+1一4yt=16(t+1)4t满足初值y0=3的特解是yt=____________．

admin2019-08-11 76

问题一阶常系数差分方程y_t+1一4y_t=16(t+1)4^t满足初值y₀=3的特解是y_t=____________．

选项

答案(2t²+2t+3)4^t．

解析应设特解为y_t=(At²+Bt+C)4^t，其中A，B，C为待定常数．令t=0可得y₀=C，利用初值y₀=3即可确定常数C=3．于是待求特解为y_t=(At²+Bt+3)4^t．
把y_t+1=[A(t+1)2+B(t+1)+3]4^t+1=4[At²+(2A+B)t+A+B+3]4^t与y_t代入方程可得
y_t+1一4y_t=4(2At+A+B)4^t，
由此可见待定常数A与B应满足恒等式
4(2At+A+B)≡16(t+1)

A=B=2．
故特解为y_t=(2t²+2t+3)4^t．

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