已知平面上三条不同直线的方程分别为 l1:ax+2by+3c=0, l2:bx+2cy+3a=0, l3:cx+2ay+3b=0。 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0。

admin2018-04-08  32

问题 已知平面上三条不同直线的方程分别为
l1:ax+2by+3c=0,
l2:bx+2cy+3a=0,
l3:cx+2ay+3b=0。
试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0。

选项

答案必要性。 设三条直线l1,l2,l3交于一点,那么线性方程组 [*] 有唯一解,故系数矩阵 [*] 的秩均为2,于是有[*] 由于 [*] =6(a+b+c)(a+b2+c2-ab-ac-bc) =3(a+b+c)[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2],但根据题设(a一b)2+(b-c)2+(c-a)2≠0,故a+b+c=0。 充分性。 由a+b+c=0,且从必要性的证明可知,[*]由于 [*] 故r(A)=2。所以r(A)=[*]=2。 因此方程组(*)有唯一解,即三直线l1,l2,l3交于一点。

解析
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