已知平面上三条不同直线的方程分别为 l1：ax+2by+3c=0， l2：bx+2cy+3a=0， l3：cx+2ay+3b=0。试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0。

admin2018-04-08 42

问题已知平面上三条不同直线的方程分别为
l₁：ax+2by+3c=0，
l₂：bx+2cy+3a=0，
l₃：cx+2ay+3b=0。
试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0。

选项

答案必要性。设三条直线l₁，l₂，l₃交于一点，那么线性方程组 [*] 有唯一解，故系数矩阵 [*] 的秩均为2，于是有[*] 由于 [*] =6(a+b+c)(a+b²+c²－ab－ac－bc) =3(a+b+c)[(a－b)²+(b－c)²+(c－a)²]，但根据题设(a一b)²+(b－c)²+(c－a)²≠0，故a+b+c=0。充分性。由a+b+c=0，且从必要性的证明可知，[*]由于 [*] 故r(A)=2。所以r(A)=[*]=2。因此方程组(*)有唯一解，即三直线l₁，l₂，l₃交于一点。

解析

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考研数学一

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已知平面上三条不同直线的方程分别为 l1：ax+2by+3c=0， l2：bx+2cy+3a=0， l3：cx+2ay+3b=0。试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0。

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设函数f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，f(a)=g(a)，f(b)=g(b)，证明：存在ξ∈(a，b)，使得f"(ξ)=g"(ξ)．

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设线性方程组已知(1，一1，1，一1)T。是该方程组的一个解，试求：(Ⅰ)方程组的全部解，并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示全部解；(Ⅱ)该方程组满足x2=x3的全部解。

设f(x)在x=a具有三阶导数且f’’’(a)≠0，又设f(x)在x=a处的拉格朗日余项一阶泰勒展开式为

微分方程yy"+y’2=0满足初始条件y(0)=1，y’(0)=的特解是_________．

有甲、乙、丙三个盒子，第一个盒子里有4个红球1个白球，第二个盒子里有3个红球2个白球，第三个盒子里有2个红球3个白球，先任取一个盒子，再从中先后取出3个球，以X表示红球数求所取到的红球不少于2个的概率．

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