2. 考研
  3. 设A是m×n矩阵，B是m×n矩阵，已知Em+AB可逆． (Ⅰ)验证En+BA可逆，且(E+BA)－1=E—B(Em+AB)－1A； (Ⅱ)设其中a1b1+a2b2+a3b3=0． 证明：W可逆，并求W－1．

设A是m×n矩阵，B是m×n矩阵，已知Em+AB可逆． (Ⅰ)验证En+BA可逆，且(E+BA)－1=E—B(Em+AB)－1A； (Ⅱ)设其中a1b1+a2b2+a3b3=0． 证明：W可逆，并求W－1．

admin2016-04-14  25
问题 设A是m×n矩阵，B是m×n矩阵，已知Em+AB可逆．
(Ⅰ)验证En+BA可逆，且(E+BA)－1=E—B(Em+AB)－1A；
(Ⅱ)设其中a1b1+a2b2+a3b3=0．
证明：W可逆，并求W－1．
选项
答案在不存在歧义的情况下，简化记号，省略E的下标m，n． (Ⅰ)因(E+BA)[E—B(E+AB)－1A] =E+BA一B(E+AB)－1A—BAB(E+AB)－1A =E+BA一B(E+AB)(E+AB)－1A =E+BA一BA=E， 故E+BA可逆，且(E+BA)－1=E—B(E+AB)－1A． [*] 由(Ⅰ)知E+AB可逆，则E+BA可逆，N(E+BA)－1=E－B(E+AB)－1A． 反之若E+BA可逆，则E+仙可逆，且(E+AB)－1=E－A(E+BA)－1B． 因为E+BA=E+(b1，b2，b3)[*]=E+[a1b1+a2b2+a1b3]=E+0=E， 故E+BA可逆，(E+BA)－1=E． 故W=E+AB可逆，且 W－1=E—A(E+BA)－1B=[*].E.(b1，b2，b3)[*]
解析
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考研数学一

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