2. 考研
  3. 设y=y(x)是区间(－π，π)内过()的光滑曲线，当一π＜x＜0时，曲线上任一点处的法线都过原点，当0≤x＜π时，函数y(x)满足y"+y+x=0。求函数y(x)的表达式。

设y=y(x)是区间(－π，π)内过()的光滑曲线，当一π＜x＜0时，曲线上任一点处的法线都过原点，当0≤x＜π时，函数y(x)满足y"+y+x=0。求函数y(x)的表达式。

admin2019-08-01  52
问题 设y=y(x)是区间(－π，π)内过()的光滑曲线，当一π＜x＜0时，曲线上任一点处的法线都过原点，当0≤x＜π时，函数y(x)满足y"+y+x=0。求函数y(x)的表达式。
选项
答案当－π＜x＜0时，曲线上任一点处切线的斜率为y’。因为该点处的法线过原点，所以y=1／y’，即ydy=－xdx，两边积分可得y2=－x2+C。 将y(－[*]代入y2=－x2+C可得C=π2，则y=[*] 当0≤x＜π时，y"+y=－x，其对应的齐次线性微分方程y’+y=0的特征方程为λ2+1=0，解得λ=±i，故y"+y=0的通解为y=C1cosx+C2sinx。 因为0不是特征根，所以设y"+y=－x的特解为y*=ax+b，代入y"+y=－x可得a=－1，b=0，故方程y"+y=－x的通解为y=C1cosx+C2sinx－x。 由y(x)是(－π，π)内的光滑曲线可知，y(x)在分段点x=0处连续且可导，而 [*] 所以C1=π，C2=1。综上， [*]
解析
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考研数学二

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