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设y=y(x)是区间(-π,π)内过()的光滑曲线,当一π<x<0时,曲线上任一点处的法线都过原点,当0≤x<π时,函数y(x)满足y"+y+x=0。求函数y(x)的表达式。
设y=y(x)是区间(-π,π)内过()的光滑曲线,当一π<x<0时,曲线上任一点处的法线都过原点,当0≤x<π时,函数y(x)满足y"+y+x=0。求函数y(x)的表达式。
admin
2019-08-01
57
问题
设y=y(x)是区间(-π,π)内过(
)的光滑曲线,当一π<x<0时,曲线上任一点处的法线都过原点,当0≤x<π时,函数y(x)满足y"+y+x=0。求函数y(x)的表达式。
选项
答案
当-π<x<0时,曲线上任一点处切线的斜率为y’。因为该点处的法线过原点,所以y=1/y’,即ydy=-xdx,两边积分可得y
2
=-x
2
+C。 将y(-[*]代入y
2
=-x
2
+C可得C=π
2
,则y=[*] 当0≤x<π时,y"+y=-x,其对应的齐次线性微分方程y’+y=0的特征方程为λ
2
+1=0,解得λ=±i,故y"+y=0的通解为y=C
1
cosx+C
2
sinx。 因为0不是特征根,所以设y"+y=-x的特解为y
*
=ax+b,代入y"+y=-x可得a=-1,b=0,故方程y"+y=-x的通解为y=C
1
cosx+C
2
sinx-x。 由y(x)是(-π,π)内的光滑曲线可知,y(x)在分段点x=0处连续且可导,而 [*] 所以C
1
=π,C
2
=1。综上, [*]
解析
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考研数学二
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