(2007年)设函数f(x)在(0，+∞)上具有二阶导数，且f"(x)＞0，令un=f(n)(n=1，2，…)，则下列结论正确的是( )

admin2019-07-12 42

问题 (2007年)设函数f(x)在(0，+∞)上具有二阶导数，且f"(x)＞0，令u_n=f(n)(n=1，2，…)，则下列结论正确的是( )

选项 A、若u₁＞u₂，则(u_n}必收敛
B、若u₁＞u₂，则{u_n}必发散
C、若u₁＜u₂，则{u_n}必收敛
D、若u₁＜u₂，则{u_n}必发散

答案D

解析方法一：设f(x)=x²，则f(x)在(0，+∞)上具有二阶导数，且f"(x)＞0，u₁＜u₂，但{u_n}={n²}发散，排除C；
设

则f(x)在(0，+∞)上具有二阶导数，且f"(x)＞0，u₁＞u₂，但

收敛．排除B；
设f(x)=一lnx，则f(x)在(0，+∞)上具有二阶导数，且f"(x)＞0，u₁＞u₂，但{u_n}={一lnn}发散，排除A。故应选D。
方法二：由拉格朗日中值定理，有
         u_n+1一u_n=f(n+1)一f(n)=f′(ξ_n)(n+1—n)=f′(ξ_n)，
其中n＜ξ_n＜n+1(n=1，2，…)。
由f"(x)＞0知，f′(x)单调增加，故
         f′(ξ₁)＜f′(ξ₂)＜…＜f′(ξ_n)＜…，
所以

于是当u₂一u₁＞0时，有

故选D。

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考研数学一

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