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[2007年] 设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 求Z=X+Y的概率密度fZ(z)．

admin2019-05-11  25
问题 [2007年]  设二维随机变量(X，Y)的概率密度为
   
求Z=X+Y的概率密度fZ(z)．
选项
答案解一 直接用卷积公式求之．将f(x，y)改写成 [*] 在xOz平面上绘出厂取正值的区域为0＜x＜1，0＜z－x＜1所围成的区域，记为D(见图3．3．3．2中阴影部分)，则 [*] 下面只需对f取正值的区域D的x进行积分．为此将区域D分成两部分D1与D2，即 当0≤x＜1时，[*] 当1≤x＜2时，[*] 当z取其他值时，由于不同时满足0＜x＜1，0＜z－x＜1，f(x，z－x)=0，则fz(z)=0． 综上所述， [*] 解二 先求分布函数FZ(z)．将f(x，y)取正值的区域的四个边界点(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)分别代入x+y=z得到z=0，z=1，z=1和z=2．因而对z需分z≤0，0＜z≤1，1＜z≤2，z>2四种情况讨论(见图3．3．3．3)． [*] (1)当z≤0时，f(x，y)=0，FZ(z)=P(Z≤z)=P([*])=0． (2)当0＜z＜1时， [*] (3)当1≤z＜2时， [*] 或 [*] (4)当z≥2时， [*] 故 [*] 所以 [*]
解析
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考研数学三

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