[2007年] 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 求Z=X+Y的概率密度fZ(z).

admin2019-05-11  26

问题 [2007年]  设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
   
求Z=X+Y的概率密度fZ(z).

选项

答案解一 直接用卷积公式求之.将f(x,y)改写成 [*] 在xOz平面上绘出厂取正值的区域为0<x<1,0<z-x<1所围成的区域,记为D(见图3.3.3.2中阴影部分),则 [*] 下面只需对f取正值的区域D的x进行积分.为此将区域D分成两部分D1与D2,即 当0≤x<1时,[*] 当1≤x<2时,[*] 当z取其他值时,由于不同时满足0<x<1,0<z-x<1,f(x,z-x)=0,则fz(z)=0. 综上所述, [*] 解二 先求分布函数FZ(z).将f(x,y)取正值的区域的四个边界点(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)分别代入x+y=z得到z=0,z=1,z=1和z=2.因而对z需分z≤0,0<z≤1,1<z≤2,z>2四种情况讨论(见图3.3.3.3). [*] (1)当z≤0时,f(x,y)=0,FZ(z)=P(Z≤z)=P([*])=0. (2)当0<z<1时, [*] (3)当1≤z<2时, [*] 或 [*] (4)当z≥2时, [*] 故 [*] 所以 [*]

解析
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