已知y1=3，y2=3+x2，y3=3+x2+ex都是微分方程(x2-2x)y“-(x2-2)y‘+(2x-2)y=6x-6的解，求此方程的通解．

admin2021-02-25 199

问题已知y₁=3，y₂=3+x²，y₃=3+x²+e^x都是微分方程(x²-2x)y“-(x²-2)y‘+(2x-2)y=6x-6的解，求此方程的通解．

选项

答案因为y₁，y₂，y₃是所给线性非齐次方程的通解，所以y₂-y₁=(3+x²)-3=x²和y₃-y₂=(3+x²+e^x)-(3+x²)=e^x是对应的齐次方程的两个解．又x²/e^x≠常数，从而e^x与x²是线性无关的，而y=3是原非齐次方程的一个特解，故所求的通解为y=C₁e^x+C₂x²+3．

解析

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考研数学二

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