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设f(χ)在(0,+∞)二阶可导且f(χ),f〞(χ)在(0,+∞)上有界,求证:f′(χ)在(0,+∞)上有界.
设f(χ)在(0,+∞)二阶可导且f(χ),f〞(χ)在(0,+∞)上有界,求证:f′(χ)在(0,+∞)上有界.
admin
2016-10-21
66
问题
设f(χ)在(0,+∞)二阶可导且f(χ),f〞(χ)在(0,+∞)上有界,求证:f′(χ)在(0,+∞)上有界.
选项
答案
按条件,联系f(χ),f〞(χ)与f′(χ)的是带拉格朗日余项的一阶泰勒公式.[*]χ>0,h>0有 f(χ+h)=f(χ)+f′(χ)h+[*]f〞(ξ)h
2
, 其中ξ∈(χ,χ+h).特别是,取h=1,ξ∈(χ,χ+1),有 f(χ+1)=f(χ)+f′(χ)+[*]f〞(ξ),即f′(χ)=f(χ+1)-f(χ)-[*]f〞(ξ). 由题设,|f(χ)|≤M
0
,|f〞(χ)|≤M
2
([*]χ∈(0,+∞)),M
0
,M
2
为常数,于是有 |f′(χ)|≤|f(χ+1)|+|f(χ)|+[*] 即f′(χ)在(0,+∞)上有界.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/rTt4777K
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考研数学二
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