证明=(n+1)an．

admin2017-10-21 18

问题证明

=(n+1)aⁿ．

选项

答案本题以证明题的形式出现，容易诱导想到用数学归纳法．记此行列式为D_n，对第1行展开，得递推公式 D_n=2aD_n-1一a²D_n-2．用数列技巧计算． D_n=2aD_n-1—a²D_n-2改写为D_n一aD_n-1=a(D_n-1—aD_n-2)，记H_n=D_n一aD_n-1(n≥2)，则n≥3时H_n=aH_n-1，即{H_n}是公比为a的等比数列．而H₂=D₂一aD₁=3a²一2a²=a²，得到H_n=aⁿ，于是得到一个新的递推公式D_n=aD_n-1+aⁿ，两边除以aⁿ，得D_n／aⁿ=D_n-1／a^n-1+1．于是{D_n／aⁿ}是公差为1的等差数列．D₁／a=2，则D_n／aⁿ=n+1，D_n=(n+1)aⁿ．

解析

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考研数学三

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