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设向量组Ⅰ:α1,α2,…,αr可由向量组Ⅱ:β1,β2,…,βs线性表示.下列命题正确的是【 】
设向量组Ⅰ:α1,α2,…,αr可由向量组Ⅱ:β1,β2,…,βs线性表示.下列命题正确的是【 】
admin
2019-03-11
75
问题
设向量组Ⅰ:α
1
,α
2
,…,α
r
可由向量组Ⅱ:β
1
,β
2
,…,β
s
线性表示.下列命题正确的是【 】
选项
A、若向量组Ⅰ线性无关,则r≤s.
B、若向量组Ⅰ线性无关,则r>s.
C、若向量组Ⅱ线性无关,则r≤s.
D、若向量组Ⅱ线性无关,则r>s.
答案
A
解析
解1 由于(Ⅰ)可由(Ⅱ)线性表示,所以有r(Ⅰ)≤r(Ⅱ),而r(Ⅱ)≤S,当(Ⅰ)线性无关时,就有r=r(Ⅰ)≤r(Ⅱ)≤S,所以选项(A)正确.
解2 设V是由向量组(Ⅱ)生成的向量空间,则V的维数≤S,由条件知
,当(Ⅰ)线性无关时,V的维数≥r,故有r≤S,从而知选项(A)正确.
本题考查向量组的线性相关性与向量组的秩的关系、线性表示问题与向量组的秩的关系及有关性质.本题结论在不少教材中都是作为一个定理给出的(例如:魏战线编《线性代数与解析几何》,高等教育出版社,2004年7月第1版,第147页,定理4.3.1),这是关于向量组之阀线性关系的一个基本性质.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/rkP4777K
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考研数学三
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