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  3. 设向量组Ⅰ：α1，α2，…，αr可由向量组Ⅱ：β1，β2，…，βs线性表示．下列命题正确的是【 】

设向量组Ⅰ：α1，α2，…，αr可由向量组Ⅱ：β1，β2，…，βs线性表示．下列命题正确的是【 】

admin2019-03-11  87
问题 设向量组Ⅰ：α1，α2，…，αr可由向量组Ⅱ：β1，β2，…，βs线性表示．下列命题正确的是【    】
选项 A、若向量组Ⅰ线性无关，则r≤s．
B、若向量组Ⅰ线性无关，则r＞s．
C、若向量组Ⅱ线性无关，则r≤s．
D、若向量组Ⅱ线性无关，则r＞s．
答案A
解析 解1  由于(Ⅰ)可由(Ⅱ)线性表示，所以有r(Ⅰ)≤r(Ⅱ)，而r(Ⅱ)≤S，当(Ⅰ)线性无关时，就有r=r(Ⅰ)≤r(Ⅱ)≤S，所以选项(A)正确．
    解2  设V是由向量组(Ⅱ)生成的向量空间，则V的维数≤S，由条件知，当(Ⅰ)线性无关时，V的维数≥r，故有r≤S，从而知选项(A)正确．
本题考查向量组的线性相关性与向量组的秩的关系、线性表示问题与向量组的秩的关系及有关性质．本题结论在不少教材中都是作为一个定理给出的(例如：魏战线编《线性代数与解析几何》，高等教育出版社，2004年7月第1版，第147页，定理4．3．1)，这是关于向量组之阀线性关系的一个基本性质．
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考研数学三

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