2. 考研
  3. 设f(x)在区间[a，b]上二阶可导且f″(x)≥0.证明： (b-a)f[(a+b)/2]≤∫abf(x)dx≥(b-a)/2[f(a)+f(b)].

设f(x)在区间[a，b]上二阶可导且f″(x)≥0.证明： (b-a)f[(a+b)/2]≤∫abf(x)dx≥(b-a)/2[f(a)+f(b)].

admin2022-08-19  76
问题 设f(x)在区间[a，b]上二阶可导且f″(x)≥0.证明：
(b-a)f[(a+b)/2]≤∫abf(x)dx≥(b-a)/2[f(a)+f(b)].
选项
答案由泰勒公式得f(x)=f[(a+b)/2]+f′[(a+b)/2][x-(a+b)/2]+[f″(ξ)/2!][x-(a+b)/2]2，其中ω介于x与(a+b)/2之间，因为f″(x)≥0，所以有f(x)≥f[(a+b)/2]+f′[(a+b)/2][x-(a+b)/2]，两边积分得∫abf(x)dx≥(b-a)f[(a+b)/2]. 令φ(x)=(x-a)/2[f(x)+f(a)]-∫axf(t)dt，且φ(a)=0. φ′(x)=1/2[f(x)+f(a)]+[(x-a)/2]f′(x)-f(x)=[(x-a)/2]f′(x)-1/2[f(x)-f(a)] =1/2(x-a)[f′(x)-f′(η)]，其中a≤η≤x， 因为f″(x)≥0，所以f′(x)单调不减，于是φ′(x)≥0(a≤x≤b)， [*]得φ(b)≥0，于是∫abf(x)dx≤[(b-a)/2][f(a)+f(b)]， 故(b-a)f[(a+b)/2]≤∫abf(x)dx≤[(b-a)/2][f(a)+f(b)].
解析
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考研数学三

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