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设f(x)在区间[a,b]上二阶可导且f″(x)≥0.证明: (b-a)f[(a+b)/2]≤∫abf(x)dx≥(b-a)/2[f(a)+f(b)].
设f(x)在区间[a,b]上二阶可导且f″(x)≥0.证明: (b-a)f[(a+b)/2]≤∫abf(x)dx≥(b-a)/2[f(a)+f(b)].
admin
2022-08-19
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问题
设f(x)在区间[a,b]上二阶可导且f″(x)≥0.证明:
(b-a)f[(a+b)/2]≤∫
a
b
f(x)dx≥(b-a)/2[f(a)+f(b)].
选项
答案
由泰勒公式得f(x)=f[(a+b)/2]+f′[(a+b)/2][x-(a+b)/2]+[f″(ξ)/2!][x-(a+b)/2]
2
,其中ω介于x与(a+b)/2之间,因为f″(x)≥0,所以有f(x)≥f[(a+b)/2]+f′[(a+b)/2][x-(a+b)/2],两边积分得∫
a
b
f(x)dx≥(b-a)f[(a+b)/2]. 令φ(x)=(x-a)/2[f(x)+f(a)]-∫
a
x
f(t)dt,且φ(a)=0. φ′(x)=1/2[f(x)+f(a)]+[(x-a)/2]f′(x)-f(x)=[(x-a)/2]f′(x)-1/2[f(x)-f(a)] =1/2(x-a)[f′(x)-f′(η)],其中a≤η≤x, 因为f″(x)≥0,所以f′(x)单调不减,于是φ′(x)≥0(a≤x≤b), [*]得φ(b)≥0,于是∫
a
b
f(x)dx≤[(b-a)/2][f(a)+f(b)], 故(b-a)f[(a+b)/2]≤∫
a
b
f(x)dx≤[(b-a)/2][f(a)+f(b)].
解析
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考研数学三
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