设A,B,C均为n阶矩阵.若AB=C,且B可逆,则 【 】

admin2021-01-25  25

问题 设A,B,C均为n阶矩阵.若AB=C,且B可逆,则  【    】

选项 A、矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价.
B、矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价.
C、矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价.
D、矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价.

答案B

解析 解1  因为矩阵B可逆,所以B可以表示成若干个初等矩阵之积,而用初等矩阵右乘矩阵相当于对矩阵施行初等列变换.经一次初等列变换,变换前与变换后的矩阵的列向量组可以相互线性表示,经若干次初等列变换,亦是如此,即变换前与变换后矩阵的列向量组等价,所以选(B).
  解2  用排除法.若取矩阵
    则B可逆,C=AB=
    可见:矩阵c的行向量组与矩阵A的行向量组不等价;矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组不等价;矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组不等价,所以,选项(A),(B),(C)都不正确,因而只有选项(B)正确.
本题综合考查可逆矩阵的性质、初等变换和向量组等价等基本概念.对矩阵施行初等行变换与初等列变换,反映在矩阵的行向量组与列向量组上,有哪些不同呢?正确的结论是:
    (1)若矩阵A经初等行变换变成了矩阵C,则A的行向量组与C的行向量组等价(但A的列向量组与C的列向量组未必等价),且A的列向量之间的线性关系与C的列向量之间的线性关系是相同的(但经初等行变换,矩阵行向量组之间的线性关系未必保持不变).
    (2)若矩阵A经初等列变换变成了矩阵C,则A的列向量组与C的列向量组等价(但A的行向量组与C的行向量组未必等价),且A的行向量之间的线性关系与C的行向量之间的线性关系是相同的(但经初等列变换,矩阵列向量组之间的线性关系未必保持不变).
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