n维向量组α1，α2，…，αs(3≤s≤n)线性无关的充分必要条件是( )．

admin2020-06-05 20

问题 n维向量组α₁，α₂，…，α_s(3≤s≤n)线性无关的充分必要条件是( )．

选项 A、存在一组不全为0的数k₁，k₂，…，k_s，使k₁α₁＋k₂α₂＋…＋k_sα_s≠0
B、α₁，α₂，…，α_s中任意两个向量都线性无关
C、α₁，α₂，…，α_s中存在一个向量，它不能用其余向量线性表处
D、α₁，α₂，…，α_s中任意一个向量都不能用其余向量线性表示

答案D

解析方法一
因为α₁，α₂，…，α_s线性相关的充分必要条件是至少存在一个向量可以由其余s－1个向量线性表示．而其逆否命题：向量组α₁，α₂，…α_s中任意一个向量都不能用其余向量线性表示的充分必要条件是向量组α₁，α₂，…，α_s线性无关．由此知，选项(D)是向量组线性无关的充分必要条件．
方法二
因为向量组α₁，α₂，…，α_s线性无关的充分必要条件之一是齐次线性方程组x₁α₁＋x₂α₂＋…＋x_sα_s＝0只有零解，而该齐次线性方程组只有零解则表示由该向量方程无法解出任何一个向量(因为0不能做分母)，亦即其中任何一个向量均不能由其余的向量线性表示，以此推知(D)正确．

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考研数学一

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