[2004年] 已知f’(ex)=xe-x，且f(1)=0，则f(x)=______．

admin2019-05-22 29

问题 [2004年] 已知f’(e^x)=xe^-x，且f(1)=0，则f(x)=______．

选项

答案f(x)=(lnx)²/2

解析在f’(e^x)=xe^-x两边同乘以e^x得到f’(e^x)e^x=x．在此式两边积分，得到
∫f’(e^x)e^xdx=∫xdx，即 ∫f’(e^x)de^x=∫xdx，
∫df(e^x)=

∫dx²，故 f(e^x)=

.
因已知f(1)=0，在上式中令x=0，得到f(1)=C=0．因而f(e^x)=x²／2．令e^x=t，则x=lnt，故f(t)=(lnt)²／2，即f(x)=(lnx)²／2．[img][/img]

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考研数学一

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