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设αi=(ai1,ai2,…,ain)T(i=1,2,…,r;r<n)是n维实向量,且α1,α2,…,αr线性无关.已知β=(b1,b2,…,bn)T是线性方程组 的非零解向量,试判断向量组α1,…,αr,β的线性相关性.
设αi=(ai1,ai2,…,ain)T(i=1,2,…,r;r<n)是n维实向量,且α1,α2,…,αr线性无关.已知β=(b1,b2,…,bn)T是线性方程组 的非零解向量,试判断向量组α1,…,αr,β的线性相关性.
admin
2018-11-11
93
问题
设α
i
=(a
i1
,a
i2
,…,a
in
)
T
(i=1,2,…,r;r<n)是n维实向量,且α
1
,α
2
,…,α
r
线性无关.已知β=(b
1
,b
2
,…,b
n
)
T
是线性方程组
的非零解向量,试判断向量组α
1
,…,α
r
,β的线性相关性.
选项
答案
线性无关.证明如下:由题设条件有b
1
a
i1
+b
2
a
i2
+…+b
n
a
m
=β
T
α
i
=0(i=1,2,…,r).设k
1
α
1
+…+k
r
α
r
+k
r+1
β=0,用β
T
左乘两端并利用β
T
α
i
=0及β
T
β=‖β‖
2
>0,得k
r+1
=0,[*]k
1
α
i
+…+k
r
α
r
=0,又α
1
,…,α
r
线性无关,[*]k
1
=…=k
r
=0.故α
1
,…,α
r
,β线性无关.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/sJj4777K
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考研数学二
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