2. 考研
  3. 设αi=(ai1，ai2，…，ain)T(i=1，2，…，r；r＜n)是n维实向量，且α1，α2，…，αr线性无关．已知β=(b1，b2，…，bn)T是线性方程组 的非零解向量，试判断向量组α1，…，αr，β的线性相关性．

设αi=(ai1，ai2，…，ain)T(i=1，2，…，r；r＜n)是n维实向量，且α1，α2，…，αr线性无关．已知β=(b1，b2，…，bn)T是线性方程组 的非零解向量，试判断向量组α1，…，αr，β的线性相关性．

admin2018-11-11  52
问题 设αi=(ai1，ai2，…，ain)T(i=1，2，…，r；r＜n)是n维实向量，且α1，α2，…，αr线性无关．已知β=(b1，b2，…，bn)T是线性方程组

的非零解向量，试判断向量组α1，…，αr，β的线性相关性．
选项
答案线性无关．证明如下：由题设条件有b1ai1+b2ai2+…+bnam=βTαi=0(i=1，2，…，r)．设k1α1+…+krαr+kr+1β=0，用βT左乘两端并利用βTαi=0及βTβ=‖β‖2＞0，得kr+1=0，[*]k1αi+…+krαr=0，又α1，…，αr线性无关，[*]k1=…=kr=0．故α1，…，αr，β线性无关．
解析
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考研数学二

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