设A= (1)问k为何值时A可相似对角化? (2)此时作可逆矩阵U，使得U-1AU是对角矩阵．

admin2021-11-09 65

问题设A=

(1)问k为何值时A可相似对角化?
(2)此时作可逆矩阵U，使得U^-1AU是对角矩阵．

选项

答案(1)求A的特征值：｜λE-A｜=[*]=(λ-1)(λ+1)²．于是A的特征值为1(一重)和-1(二重)．要使A可对角化，只需看特征值-1．要满足3-r(A+E)=2，即r(A+E)=1， [*] 得k=0， [*] (2)求属于-1的两个线性无关的特征向量，即求(A+E)X=0的基础解系： [*] 得(A+E)X=0的同解方程组 2x₁+x₂-x₃=0 得基础解系η₁=(1，0，2)^T，η₂=(0，1，1)^T．求属于1的一个特征向量，即求(A-E)X=0的一个非零解： [*] 得(A-E)X=0的同解方程组 [*] 得解η₃=(1，0，1)^T．令U=(η₁，η₂，η₃)，则 U^-1AU=[*]

解析

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