设由流水线加工的某种零件的内径X(单位：毫米)服从正态分布N(μ，1)，内径小于10或大于12的为不合格品，其余为合格品。销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损。已知销售利润T(单位：元)与销售零件的内径X有如下关系：问平均内径μ取何值时，销售一个零

admin2018-12-29 42

问题设由流水线加工的某种零件的内径X(单位：毫米)服从正态分布N(μ，1)，内径小于10或大于12的为不合格品，其余为合格品。销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损。已知销售利润T(单位：元)与销售零件的内径X有如下关系：

问平均内径μ取何值时，销售一个零件的平均利润最大?

选项

答案依据数学期望的计算公式及一般正态分布的标准化方法，有 E(T)= —1×P{X＜10}+20×P{10≤X≤12}—5×P{X＞12} = —Φ(10—μ)+20[Φ(12—μ)—Φ(10—μ)]—5[1—Φ(12—μ)] =25Φ(12—μ)—21Φ(10—μ)—5，可知销售利润的数学期望E(T)是μ的函数。要求E(T)的最大值，令其一阶导数为0，有 [*] 因实际问题一定可取到最值，所以当[*]时，销售一个零件的平均利润最大。

解析

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考研数学一

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