设f(x)在(一∞，+∞)内有定义，且对于任意x与y均有f(x+y)=f(x)ey+f(y)ex成立，又设f’(0)存在且等于a(a≠0)．求f(x)．

admin2018-08-22 91

问题设f(x)在(一∞，+∞)内有定义，且对于任意x与y均有f(x+y)=f(x)e^y+f(y)e^x成立，又设f’(0)存在且等于a(a≠0)．求f(x)．

选项

答案由f’(0)存在，设法去证对一切x，f’(x)存在，并求出f(x)．将y=0代入f(x+y)=f(x)e^y+f(y)e^x，得 f(x)=f(x)+f(0)e^x，所以f(0)=0． [*] 令△x→0，得 f’(x)=f(x)+e^xf’(0)=f(x)+ae^x，所以f’(x)存在．解此一阶非齐次线性微分方程，得 [*] 因f(0)=0，所以C=0，从而得f(x)=ace^x．

解析

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