n维列向量组α1，αn-1线性无关，且与非零向量β正交．证明：α1，…，αn-1，β线性无关．

admin2015-06-29 105

问题 n维列向量组α₁，α_n-1线性无关，且与非零向量β正交．证明：α₁，…，α_n-1，β线性无关．

选项

答案令k₀β+k₁α₁+…+k_n-1α_n-1=0，由α₁，…，α_n-1与非零向量β正交及(β，k₀β+k₁α₁+…+k_n-1α_n-1=0得k₀(β，β)=0，因为β为非零向量，所以(β，β)一｜β｜²＞0，于是k₀=0，故k₁α₁+…+k_n-1α_n-1=0，由α₁，…，α_n-1线性无关得k₁=…k_n-1=0，于是α₁，…，α_n-1，β线性无关．

解析

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考研数学一

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证明：A～B，其中并求可逆矩阵P，使得P-1AP=B．
设A=E+αβT，其中α=[α1，α2，…，αn]T≠0，β=[b1，b2，…，bn]T≠0，且αTβ=2．求A的特征值和特征向量；
设A是n阶矩阵，满足A2=A，且r(A)=r(0＜r≤n)．证明：其中Er是r阶单位矩阵．
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