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已知二次型f(x1,x2,x3)=xTAx在正交变换x=Qy下的标准形为y21+y22,且Q的第3列为 求矩阵A;
已知二次型f(x1,x2,x3)=xTAx在正交变换x=Qy下的标准形为y21+y22,且Q的第3列为 求矩阵A;
admin
2021-02-25
22
问题
已知二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)=x
T
Ax在正交变换x=Qy下的标准形为y
2
1
+y
2
2
,且Q的第3列为
求矩阵A;
选项
答案
由题设知A的特征值为1,1,0.且α=(1,0,1)
T
是属于A的特征值0对应的一个特征向量.设x=(x
1
,x
2
,x
3
)
T
为A的属于特征值1的特征向量,由于A的不同的特征值所对应的特征向量正交,所以有(x,α)=0,即x
1
+x
3
=0,解该方程组的基础解系ξ
1
=(1,0,-1)
T
,ξ
2
=(0,1,0)
T
,将其单位化,并将其取为A的属于特征值1对应的正交单位的特征向量, [*] 令 [*] 从而, [*]
解析
本题考查抽象二次型化标准形的逆问题,由正交变换下的标准形与二次型对应的矩阵A的特征值的关系,求A.再由正定矩阵的定义判定A+E的正定性.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/se84777K
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