设X是一随机变量,且E(X)=u,D(X)=σ(μ,σ>0为常数),则对于任意常数C,必有( )

admin2019-08-12  43

问题 设X是一随机变量,且E(X)=u,D(X)=σ(μ,σ>0为常数),则对于任意常数C,必有(    )

选项 A、E[(X—C)2]=E(X)一C2
B、E[(X—C)2]=E[(X-μ)2].
C、E[(X—C)2]<E[(X-μ)2].
D、E[(X—C)2]≥E[(X一μ)2].

答案D

解析 令g(C)=E[(X—C)2],于是
    g(C)=E(X2一2CX+C2)=E(X2)一2CE(X)+C2
    =σ22一2μC+C2
    g’(C)=一2μ+2C,  g"(C)=2>0.
令g’(C)=0,得唯一驻点C=μ,因此函数g(C)在C=μ处取得最小值g(μ)=E[(X-μ)2],即
    E[(X—C)2]≥E[(X-μ)2].
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