设f(x)连续，且∫0xtf(2x－t)dt=arctanx2，f(1)=1，求∫12f(x)dx．

admin2018-05-25 56

问题设f(x)连续，且∫₀^xtf(2x－t)dt=

arctanx²，f(1)=1，求∫₁²f(x)dx．

选项

答案[*]

解析由∫₀^xtf(2x－t)dt

∫_x^2x(2x－u)f(u)(－du)
=∫_x^2x(2x－u)f(u)du=2x∫_x^2xf(u)du－∫_x^2xuf(u)du
得2x∫_x^2xf(u)du－∫_x^2xuf(u)du=

arctanx²，等式两边对x求导得
2∫_x^2xf(u)du+2x[2f(2x)－f(x)]－4xf(2x)+xf(x)=

整理得
2∫_x^2xfud(u)－xf(x)=

取x=1得2∫₁²f(u)du－f(1)=

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