2. 考研
  3. 设A，B为三阶矩阵，且AB=A-B，若λ1，λ2，λ3为A的三个不同的特征值，证明： (1)AB=BA： (2)存在可逆矩阵P，使得P-1AP，P-1BP同时为对角矩阵．

设A，B为三阶矩阵，且AB=A-B，若λ1，λ2，λ3为A的三个不同的特征值，证明： (1)AB=BA： (2)存在可逆矩阵P，使得P-1AP，P-1BP同时为对角矩阵．

admin2022-04-07  100
问题 设A，B为三阶矩阵，且AB=A-B，若λ1，λ2，λ3为A的三个不同的特征值，证明：
(1)AB=BA：
(2)存在可逆矩阵P，使得P-1AP，P-1BP同时为对角矩阵．
选项
答案(1)由AB=A-B得A-B-AB+E=E，(E+A)(E-B)=E， 即E-B与E+A互为逆矩阵，于是(E-B)(E+A)=E=(E+A)(E-B)， 故AB=BA． (2)因为A有三个不同的特征值λ1，λ2，λ3，所以A可以对角化，设A的三个线性无关的特征向量为ξ1，ξ2，ξ3，则有A(ξ1，ξ2，ξ3)=(ξ1，ξ2，ξ3)diag(λ1，λ2，λ3)， BA(ξ1，ξ2，ξ3)=B(ξ1，ξ2，ξ3)diag(λ1，λ2，λ3)， AB(ξ1，ξ2，ξ3)=B(ξ1，ξ2，ξ3)diag(λ1，λ2，λ3)， 于是有ABξi=λiBξi，i=1，2，3． 若Bξi≠0，则Bξi是A的属于特征值λi的特征向量，又λi为单根，所以有Bξi=μiξi； 若Bξi=0，则ξi是B的属于特征值0的特征向量．无论哪种情况，B都可以对角化，而且 ξi是B的特征向量，因此，令P=(ξ1，ξ2，ξ3)，则P-1AP，P-1BP同为对角阵．
解析
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考研数学三

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