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设A,B为三阶矩阵,且AB=A-B,若λ1,λ2,λ3为A的三个不同的特征值,证明: (1)AB=BA: (2)存在可逆矩阵P,使得P-1AP,P-1BP同时为对角矩阵.
设A,B为三阶矩阵,且AB=A-B,若λ1,λ2,λ3为A的三个不同的特征值,证明: (1)AB=BA: (2)存在可逆矩阵P,使得P-1AP,P-1BP同时为对角矩阵.
admin
2022-04-07
103
问题
设A,B为三阶矩阵,且AB=A-B,若λ
1
,λ
2
,λ
3
为A的三个不同的特征值,证明:
(1)AB=BA:
(2)存在可逆矩阵P,使得P
-1
AP,P
-1
BP同时为对角矩阵.
选项
答案
(1)由AB=A-B得A-B-AB+E=E,(E+A)(E-B)=E, 即E-B与E+A互为逆矩阵,于是(E-B)(E+A)=E=(E+A)(E-B), 故AB=BA. (2)因为A有三个不同的特征值λ
1
,λ
2
,λ
3
,所以A可以对角化,设A的三个线性无关的特征向量为ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
,则有A(ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
)=(ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
)diag(λ
1
,λ
2
,λ
3
), BA(ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
)=B(ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
)diag(λ
1
,λ
2
,λ
3
), AB(ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
)=B(ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
)diag(λ
1
,λ
2
,λ
3
), 于是有ABξ
i
=λ
i
Bξ
i
,i=1,2,3. 若Bξ
i
≠0,则Bξ
i
是A的属于特征值λ
i
的特征向量,又λ
i
为单根,所以有Bξ
i
=μ
i
ξ
i
; 若Bξ
i
=0,则ξ
i
是B的属于特征值0的特征向量.无论哪种情况,B都可以对角化,而且 ξ
i
是B的特征向量,因此,令P=(ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
),则P
-1
AP,P
-1
BP同为对角阵.
解析
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考研数学三
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