设A，B为三阶矩阵，且AB=A-B，若λ1，λ2，λ3为A的三个不同的特征值，证明： (1)AB=BA： (2)存在可逆矩阵P，使得P-1AP，P-1BP同时为对角矩阵．

admin2022-04-07 118

问题设A，B为三阶矩阵，且AB=A-B，若λ₁，λ₂，λ₃为A的三个不同的特征值，证明：
(1)AB=BA：
(2)存在可逆矩阵P，使得P^-1AP，P^-1BP同时为对角矩阵．

选项

答案(1)由AB=A-B得A-B-AB+E=E，(E+A)(E-B)=E，即E-B与E+A互为逆矩阵，于是(E-B)(E+A)=E=(E+A)(E-B)，故AB=BA． (2)因为A有三个不同的特征值λ₁，λ₂，λ₃，所以A可以对角化，设A的三个线性无关的特征向量为ξ₁，ξ₂，ξ₃，则有A(ξ₁，ξ₂，ξ₃)=(ξ₁，ξ₂，ξ₃)diag(λ₁，λ₂，λ₃)， BA(ξ₁，ξ₂，ξ₃)=B(ξ₁，ξ₂，ξ₃)diag(λ₁，λ₂，λ₃)， AB(ξ₁，ξ₂，ξ₃)=B(ξ₁，ξ₂，ξ₃)diag(λ₁，λ₂，λ₃)，于是有ABξ_i=λ_iBξ_i，i=1，2，3．若Bξ_i≠0，则Bξ_i是A的属于特征值λ_i的特征向量，又λ_i为单根，所以有Bξ_i=μ_iξ_i；若Bξ_i=0，则ξ_i是B的属于特征值0的特征向量．无论哪种情况，B都可以对角化，而且 ξ_i是B的特征向量，因此，令P=(ξ₁，ξ₂，ξ₃)，则P^-1AP，P^-1BP同为对角阵．

解析

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考研数学三

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设A，B为三阶矩阵，且AB=A-B，若λ1，λ2，λ3为A的三个不同的特征值，证明： (1)AB=BA： (2)存在可逆矩阵P，使得P-1AP，P-1BP同时为对角矩阵．

考研数学三

[*]

设其中ai≠aj(i≠j，i，j＝1，2，…，n)，则线性方程组ATx＝B的解是________．

设(X，Y)的概率密度为求的数学期望．

求f(x，y)=x+xy一x2一y2在闭区域D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤2}上的最大值和最小值．

设三阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α1=（一1，2，一1）T，α2=（0，一1，1）T是线性方程组Ax=0的两个解。（Ⅰ）求A的特征值与特征向量；（Ⅱ）求正交矩阵Q和对角矩阵Λ，使得QTAQ=Λ。

设由曲线y=e—x(x≥0)，x轴，y轴和直线x=ξ(ξ＞0)所围平面图形绕x轴旋转一周所得立体图形的体积为V(ξ)，求使V(a)=V(ξ)的a．

已知三元二次型XTAX经正交变换化为2y12－y22－y32，又知矩阵B满足矩阵方程BA－1=2AB+4E，且Aα=α，其中α=[1，1，－1]T，A为A的伴随矩阵，求此二次型XTBX的表达式．

设常数a＞0，讨论曲线y=ax与曲线y=2lnx的公共点的个数．

设A为3阶方阵，如果A—1的特征值是1，2，3，则|A|的代数余子式A11+A22+A33=__________．

设f(x)二阶可导，f(0)=0，令(1)求g’(x)；(2)讨论g’(x)在x=0处的连续性．

游戏必须是儿童自发产生的，不主张如何安排游戏，而强调治疗者的工作是与儿童建立良好的关系。这被称作()

根据《水电建设工程施工安全管理暂行办法》，一次发生只有人员轻伤或重伤1～2人的是()。

以下对国际上项目经理的地位和作用的说明以及其特征如下，其中正确的是()。

只要企业存在固定成本，在正常经营情况下经营杠杆系数必(　　)。

根据有关规定，中外合资经营企业解散的主要原因有()。

李某为资助15周岁的王某上学，与王某订立赠与合同，赠与王某10万元。并就该赠与合同办理了公证。后李某无正当理由，在交付给王某6万元后就表示不再赠与了。根据合同法律制度的规定，下列表述中，正确的是()。

根据下面材料回答问题。据对全省2700户农村居民家庭抽样调查：2003年全省农村居民人均纯收入5431元，比上年增加491元，增长9．9％。人均纯收入高于全省平均水平的家庭占41．2％。2003年全省农村居民收入增长的主要特点有：

简述情绪和情感的成分。

StandardEnglishisthevarietyofEnglishwhichisusuallyusedinprintandwhichisnormallytaughtinschoolsandtonon-nat

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设三阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α1=（一1，2，一1）T，α2=（0，一1，1）T是线性方程组Ax=0的两个解。（Ⅰ）求A的特征值与特征向量；（Ⅱ）求正交矩阵Q和对角矩阵Λ，使得QTAQ=Λ。

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设A为3阶方阵，如果A—1的特征值是1，2，3，则|A|的代数余子式A11+A22+A33=__________．

设f(x)二阶可导，f(0)=0，令(1)求g’(x)；(2)讨论g’(x)在x=0处的连续性．

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李某为资助15周岁的王某上学，与王某订立赠与合同，赠与王某10万元。并就该赠与合同办理了公证。后李某无正当理由，在交付给王某6万元后就表示不再赠与了。根据合同法律制度的规定，下列表述中，正确的是()。

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只要企业存在固定成本，在正常经营情况下经营杠杆系数必(　　)。