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(2010年试题，23)设1707正交矩阵Q使QTTAQ为对角阵，若Q的第一列为．求a,Q.

admin2013-12-18  50
问题 (2010年试题，23)设1707正交矩阵Q使QTTAQ为对角阵，若Q的第一列为．求a,Q.
选项
答案因为正交矩阵Q可使得矩阵A．对角化，所以正交矩阵Q的每一列均为矩阵A的特征向量．又正交矩阵Q的第一列为[*]故其为矩阵A的一个特征向量，设对应的特征值为λ1，则有[*]由此解得a=一1，λ1=2，则A=[*]令[*]则可得(λ+4)(λ一2)(λ一5)=0，即矩阵A的3个特征值为λ1=2，λ2=5，λ3=一4，对应于特征值λ1=2的特征向量为[*]由(λ2E—A)x=0，即[*]对系数矩阵作行变换得[*]，则对应于A2=5的特征向量为ξ2=(1，一1，1)T．同理，由(λ3E—A)x=0，即[*]，对系数矩阵作行变换：[*]的特征向量为ξ3=(一1，0，1)T因为矩阵A为实对称矩阵，且ξ1，ξ2，ξ3，是对应于不同特征值的特征向量，所以ξ1，ξ2，ξ3相互正交，ξ1已是单位向量，只需对ξ2，ξ3单位化即可．[*]取Q=(ξ1，η2，η3)[*]
解析
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考研数学二

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