设向量组(Ⅰ)：b1，…，br能由向量组(Ⅱ)：α1，…,αs线性表示为 (b1，… ，br)=(a1，… ，as)K，其中K为s×r矩阵，且向量组(Ⅱ)线性无关。证明向量组(Ⅰ)线性无关的充分必要条件是矩阵K的秩r(K)=r。

admin2019-02-26 61

问题设向量组(Ⅰ)：b₁，…，b_r能由向量组(Ⅱ)：α₁，…,α_s线性表示为
(b₁，… ，b_r)=(a₁，… ，a_s)K，
其中K为s×r矩阵，且向量组(Ⅱ)线性无关。证明向量组(Ⅰ)线性无关的充分必要条件是矩阵K的秩r(K)=r。

选项

答案必要性：令B=(b₁，…，b_r)，A=(a₁，…，a_s)，则有B=AK，由定理 r(B)=r(AK)≤min{r(A)，r(K)}，结合向量组(Ⅰ)：b₁，b₂，…，b_r线性无关知r(B)=r，故r(K)≥r。又因为K为r×S阶矩阵，则有r(K)≤min{r，s}≤r。综上所述r≤r(K)≤r，即r(K)=r。充分性：已知r(K)=r，向量组(Ⅱ)线性无关，r(A)=s，因此A的行最简矩阵为[*]，存在可逆矩阵P使PA=[*]，于是有PB=PAK=[*]。由矩阵秩的性质 r(B)=r(PB)=[*]=r(K)，即r(B)=r(K)=r，因此向量组(Ⅰ)线性无关。

解析

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考研数学一

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设向量组(Ⅰ)：b1，…，br能由向量组(Ⅱ)：α1，…,αs线性表示为 (b1，… ，br)=(a1，… ，as)K，其中K为s×r矩阵，且向量组(Ⅱ)线性无关。证明向量组(Ⅰ)线性无关的充分必要条件是矩阵K的秩r(K)=r。

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已知α1=(1，3，5，-1)T，α2=(2，7，a，4)T，α3=(5，17，-1，7)T。(Ⅰ)若α1，α2，α3线性相关，求a的值；(Ⅱ)当a=3时，求与α1，α2，α3都正交的非零向量α4；(Ⅲ)当a=3时，利用(Ⅱ)的结果，证明α1，α2，

设n元实二次型f(x1，…，xn)=(x1+a1x2)2+(x2+a2x3)2+…+(xx-1+an-1xn)2+(xn+anx1)2，其中a1，…，an均为实数。试问：当a1，…，an满足何种条件时，二次型f是正定的。

设A=，已知线性方程组Ax=b存在两个不同的解。(Ⅰ)求λ，a；(Ⅱ)求方程组Ax=b的通解。

设矩阵A是秩为2的四阶矩阵，又α1，α2，α3是线性方程组Ax=b的解，且α1+α2-α3=(2，0，-5，4)T，α2+2α3=(3，12，3，3)T，α3-2α1=(2，4，1，-2)T，则方程组Ax=b的通解x=()

(2008年)在下列微分方程中，以y=C1ex+C2cos2x+C3sin2x(C1，C2，C3为任意常数)为通解的是()

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