用欧拉方程x2(d2y/dx2)+4x(dy/dx)+2y=0(x>0)的通解为_______.

admin2013-03-19 58

问题用欧拉方程x²(d²y/dx²)+4x(dy/dx)+2y=0(x>0)的通解为_______.

选项

答案y=C₁/x+C₂/x².

解析作自变量替换x=e^t(t=lnx),将它化成常系数的情形。
d²y/dt²+(4-1)dy/dt+2y=0
d²y/dt²+3dy/dt+2y=0.
相应的特征方程为 λ²+3λ+2=0
特征根 λ₁=-1
λ₂=-2
通解为 y=C₁e^-t+C₂e^-2t
所以通解为y=C₁/x+C₂/x².

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