2. 考研
  3. 设函数f(x)在区间I上有定义，若实数x0∈I，且满足f(x0)=x0，则称x0为f(x)在区间I上的一个不动点，设函数f(x)=3x2+(1／x2)-(18／25)，则f(x)在区间(0，+∞)上是否有不动点?若有，求出所有不动点；若没有，说明理由。

设函数f(x)在区间I上有定义，若实数x0∈I，且满足f(x0)=x0，则称x0为f(x)在区间I上的一个不动点，设函数f(x)=3x2+(1／x2)-(18／25)，则f(x)在区间(0，+∞)上是否有不动点?若有，求出所有不动点；若没有，说明理由。

admin2022-01-05  50
问题 设函数f(x)在区间I上有定义，若实数x0∈I，且满足f(x0)=x0，则称x0为f(x)在区间I上的一个不动点，设函数f(x)=3x2+(1／x2)-(18／25)，则f(x)在区间(0，+∞)上是否有不动点?若有，求出所有不动点；若没有，说明理由。
选项
答案显然f(x)=3x2+1／x2-18／25在(0，+∞)上的不动点，即g(x)=3x2+1／x2-18／25在(0，+∞)上的零点。 因为g’(x)=6x-2／x3=1，g’(1／2)=-14＜0，g’(1)=3＞0，且g”(x)=6+6／x4＞0，所以g’(x)在(0，+∞)上有唯一零点x0∈(1／2，1)且为g(x)的极小值点。 于是g(x)在区间(0，+∞)上的最小值为min g(x)=g(x0)=3x02+(1／x02-x0)-18／25＞3／4-18／25-3／100＞0， 这表明g(x)在区间(0，+∞)上没有零点，因此f(x)在(0，+∞)上不存在不动点。
解析
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考研数学三

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