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设f(x)在[a,+∞)上连续,在(a,+∞)内可导,且f(x)=f(a).求证:存在ξ∈(a,+∞),使f’(ξ)=0.
设f(x)在[a,+∞)上连续,在(a,+∞)内可导,且f(x)=f(a).求证:存在ξ∈(a,+∞),使f’(ξ)=0.
admin
2019-03-12
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问题
设f(x)在[a,+∞)上连续,在(a,+∞)内可导,且
f(x)=f(a).求证:存在ξ∈(a,+∞),使f’(ξ)=0.
选项
答案
若f(x)≡f(a),则结论显然成立.下设f(x)[*]x
0
>a,使得f(x
0
)≠f(a).为确定起见,无妨设f(x
0
)>f(a)(否则用一f(x)代替f(x)进行讨论). 令m=[*][f(a)+f(x
0
)],则f(a)<m<f(x
0
).由f(x)在[a,x
0
]上连续知,[*]α∈(a,x
0
),使f(α)=m. 又因[*]f(x)=f(a)<m,从而[*]x
1
>x
0
,使f(x
0
)<m,由f(x)在[x
0
,x
1
]上连续,且f(x
0
)>m>f(x
1
)知,[*]β∈(x
0
,x
1
),使f(β)=m. 综合可得,f(x)在区间[α,β]上连续且可导,又f(α)=f(β),故由罗尔定理可知,[*](a,+∞),使得f’(ξ)=0.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/tuP4777K
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考研数学三
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