2. 考研
  3. 设f(x)在[a，+∞)上连续，在(a，+∞)内可导，且f(x)=f(a)．求证：存在ξ∈(a，+∞)，使f’(ξ)=0．

设f(x)在[a，+∞)上连续，在(a，+∞)内可导，且f(x)=f(a)．求证：存在ξ∈(a，+∞)，使f’(ξ)=0．

admin2019-03-12  61
问题 设f(x)在[a，+∞)上连续，在(a，+∞)内可导，且f(x)=f(a)．求证：存在ξ∈(a，+∞)，使f’(ξ)=0．
选项
答案若f(x)≡f(a)，则结论显然成立．下设f(x)[*]x0＞a，使得f(x0)≠f(a)．为确定起见，无妨设f(x0)＞f(a)(否则用一f(x)代替f(x)进行讨论)． 令m=[*][f(a)+f(x0)]，则f(a)＜m＜f(x0)．由f(x)在[a，x0]上连续知，[*]α∈(a，x0)，使f(α)=m． 又因[*]f(x)=f(a)＜m，从而[*]x1＞x0，使f(x0)＜m，由f(x)在[x0，x1]上连续，且f(x0)＞m＞f(x1)知，[*]β∈(x0，x1)，使f(β)=m． 综合可得，f(x)在区间[α，β]上连续且可导，又f(α)=f(β)，故由罗尔定理可知，[*](a，+∞)，使得f’(ξ)=0．
解析
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考研数学三

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