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  3. 已知二次型2x12+3x22+3x32+2ax2x3(a＞0)可用正交变换化为y12+2y22+5y32，求a和所作正交变换．

已知二次型2x12+3x22+3x32+2ax2x3(a＞0)可用正交变换化为y12+2y22+5y32，求a和所作正交变换．

admin2021-11-09  48
问题 已知二次型2x12+3x22+3x32+2ax2x3(a＞0)可用正交变换化为y12+2y22+5y32，求a和所作正交变换．
选项
答案原二次型的矩阵A和化出二次型的矩阵B相似． [*] 于是｜A｜=｜B｜=10．而｜A｜=2(9-a2)，得a2=4，a=2． A和B的特征值相同，为1，2，5．对这3个特征值求单位特征向量． 对于特征值1： [*] 得(A-E)X=0的同解方程组 [*] 得属于1的一个特征向量η1=(0，1，-1)T，单位化得γ1=[*] 对于特征值2： [*] 得(A-2E)X=0的同解方程组 [*] 得属于2的一个单位特征向量γ2=(1，0，O)T． 对于特征值5： [*] 得(A-5E)X=0的同解方程组 [*] 得属于5的一个特征向量η3=(0，1，1)T，单位化得γ3=[*] 令Q=(γ1，γ2，γ3)，则正交变换X=QY把原二次型化为y12+2y22+5y32．
解析
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考研数学二

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