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(1998年试题，十一)设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组AkX=0有解向量α，且Ak-1α≠0．证明：向量组α，Aα，…，Ak-1α是线性无关的．
(1998年试题，十一)设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组AkX=0有解向量α，且Ak-1α≠0．证明：向量组α，Aα，…，Ak-1α是线性无关的．
admin
2013-12-27
42
问题
(1998年试题，十一)设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组A
k
X=0有解向量α，且A
k-1
α≠0．证明：向量组α，Aα，…，A
k-1
α是线性无关的．
选项
答案
通常证明向量组线性无关的方法是按照定义，即设常数c
1
，c
2
，…，c
k
，使得c
1
α+c
2
Aα+…+c
k
A
k-1
α=0(1)如能证明要使(1)成立，则c
1
，c
2
，…，c
k
全为0即可．由题设已知A
k
=0，且A
k-1
α≠0，则用A
k-1
左乘(1)→c
1
A
k-1
α=0，从而c
1
=0，则(1)式变成c
2
Aα+…+c
k
A
k-1
α=0(2)同理用A
k-1
左乘(2)→c
2
A
k-1
α=0，从而c
2
=0．余下以此类推，可证得c
3
=c
4
=…=c
k
=0．因此向量组α，Aα，…，A
k-1
α线性无关．
解析
涉及到一组抽象向量组的线性相关性的证明，一般可采用定义来证明．
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/uC54777K
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考研数学一
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