(1998年试题，十一)设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组AkX=0有解向量α，且Ak-1α≠0．证明：向量组α，Aα，…，Ak-1α是线性无关的．

admin2013-12-27 78

问题 (1998年试题，十一)设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组A^kX=0有解向量α，且A^k-1α≠0．证明：向量组α，Aα，…，A^k-1α是线性无关的．

选项

答案通常证明向量组线性无关的方法是按照定义，即设常数c₁，c₂，…，c_k，使得c₁α+c₂Aα+…+c_kA^k-1α=0(1)如能证明要使(1)成立，则c₁，c₂，…，c_k全为0即可．由题设已知A^k=0，且A^k-1α≠0，则用A^k-1左乘(1)→c₁A^k-1α=0，从而c₁=0，则(1)式变成c₂Aα+…+c_kA^k-1α=0(2)同理用A^k-1左乘(2)→c₂A^k-1α=0，从而c₂=0．余下以此类推，可证得c₃=c₄=…=c_k=0．因此向量组α，Aα，…，A^k-1α线性无关．

解析涉及到一组抽象向量组的线性相关性的证明，一般可采用定义来证明．

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考研数学一

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(1998年试题，十一)设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组AkX=0有解向量α，且Ak-1α≠0．证明：向量组α，Aα，…，Ak-1α是线性无关的．

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已知向量组α1，α2，α3，α4线性无关，则向量组()

设b＞a＞0，证明不等式

设x≥0，证明．

证明：当0＜x＜π/2时，

设直线y=ax与抛物线y=x2所围成的图形的面积为S1，它们与直线x=1所围成的图形面积为S2，并且a＜1．试确定a的值，使S=S1+S2达到最小，并求出最小值．

设f(x)在区间[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)，f(x)不恒为常数，证明：在(a，b)内至少存在一点ξ，使得f’(ξ)＞0．

设D={(x，y)｜x2+y2≤，x≥0，y≥0}，[1+x2+y2]表示不超过1+x2+y2的最大整数．计算

已知线性方程组的一个基础解系为(b11，b12，…，b1，2n)T，(b21，b22，…，b2，2n)T，…，(bn1，bn2，…，bn，2n)T．试写出线性方程组的通解，并说明理由．

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某护士，在执行医嘱时，发现主治医生的处方有问题，应采取的正确做法是

患者，65岁。皮肤、巩膜黄染呈进行性加重，大便持续变白，病后消瘦明显。应首先考虑的是()

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