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(1998年试题,十一)设A是n阶矩阵,若存在正整数k,使线性方程组AkX=0有解向量α,且Ak-1α≠0.证明:向量组α,Aα,…,Ak-1α是线性无关的.
(1998年试题,十一)设A是n阶矩阵,若存在正整数k,使线性方程组AkX=0有解向量α,且Ak-1α≠0.证明:向量组α,Aα,…,Ak-1α是线性无关的.
admin
2013-12-27
86
问题
(1998年试题,十一)设A是n阶矩阵,若存在正整数k,使线性方程组A
k
X=0有解向量α,且A
k-1
α≠0.证明:向量组α,Aα,…,A
k-1
α是线性无关的.
选项
答案
通常证明向量组线性无关的方法是按照定义,即设常数c
1
,c
2
,…,c
k
,使得c
1
α+c
2
Aα+…+c
k
A
k-1
α=0(1)如能证明要使(1)成立,则c
1
,c
2
,…,c
k
全为0即可.由题设已知A
k
=0,且A
k-1
α≠0,则用A
k-1
左乘(1)→c
1
A
k-1
α=0,从而c
1
=0,则(1)式变成c
2
Aα+…+c
k
A
k-1
α=0(2)同理用A
k-1
左乘(2)→c
2
A
k-1
α=0,从而c
2
=0.余下以此类推,可证得c
3
=c
4
=…=c
k
=0.因此向量组α,Aα,…,A
k-1
α线性无关.
解析
涉及到一组抽象向量组的线性相关性的证明,一般可采用定义来证明.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/uC54777K
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考研数学一
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