(1998年试题，十一)设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组AkX=0有解向量α，且Ak-1α≠0．证明：向量组α，Aα，…，Ak-1α是线性无关的．

admin2013-12-27 128

问题 (1998年试题，十一)设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组A^kX=0有解向量α，且A^k-1α≠0．证明：向量组α，Aα，…，A^k-1α是线性无关的．

选项

答案通常证明向量组线性无关的方法是按照定义，即设常数c₁，c₂，…，c_k，使得c₁α+c₂Aα+…+c_kA^k-1α=0(1)如能证明要使(1)成立，则c₁，c₂，…，c_k全为0即可．由题设已知A^k=0，且A^k-1α≠0，则用A^k-1左乘(1)→c₁A^k-1α=0，从而c₁=0，则(1)式变成c₂Aα+…+c_kA^k-1α=0(2)同理用A^k-1左乘(2)→c₂A^k-1α=0，从而c₂=0．余下以此类推，可证得c₃=c₄=…=c_k=0．因此向量组α，Aα，…，A^k-1α线性无关．

解析涉及到一组抽象向量组的线性相关性的证明，一般可采用定义来证明．

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考研数学一

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(1998年试题，十一)设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组AkX=0有解向量α，且Ak-1α≠0．证明：向量组α，Aα，…，Ak-1α是线性无关的．

考研数学一

已知向量组α1，α2，α3，α4线性无关，则向量组()

设函数在闭区间[0，1]上可微，对于[0，1]上的每一个x，函数f(x)的值都在开区间(0，1)内，且f’(x)≠1，证明在(0，1)内方程f(x)=x有且仅有一个实根．

设f(x)在[0，1]上二阶可导，且｜f(x)｜≤a，｜f”(x)｜≤b，其中a，b为非负常数，证明对任意x∈(0，1)，有

设x≥0，证明．

证明：当0＜x＜π/2时，

设f(x)在区间[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)，f(x)不恒为常数，证明：在(a，b)内至少存在一点ξ，使得f’(ξ)＞0．

设矩阵求m、n的值及满足AB=C的所有矩阵B．

已知非齐次线性方程组有3个线性无关的解．证明方程组系数矩阵A的秩r(A)=2；

消费者在购买、使用商品和接受服务时享有()不受损害的权利。

绝大多数真核生物mRNA54端有()。

患儿，男性，3岁。上楼梯时，其母亲向上牵拉右上肢，患儿哭叫，诉肘部疼痛，不肯用右手取物，最可能的诊断是

下列设备中，属于有线电视系统设备的是()。

地陪首次沿途导游的主要内容是()。

对流出员工的跟踪调查可以由()来完成。

根据《治安管理处罚法》的规定，违反治安管理的行为主要由(　　)构成。

设x→0时ax2+bx+c—cosx是比x2高阶的无穷小，其中a，b，c为常数，则（）

(1998年试题，十一)设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组AkX=0有解向量α，且Ak-1α≠0．证明：向量组α，Aα，…，Ak-1α是线性无关的．

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设函数在闭区间[0，1]上可微，对于[0，1]上的每一个x，函数f(x)的值都在开区间(0，1)内，且f’(x)≠1，证明在(0，1)内方程f(x)=x有且仅有一个实根．

设f(x)在[0，1]上二阶可导，且｜f(x)｜≤a，｜f”(x)｜≤b，其中a，b为非负常数，证明对任意x∈(0，1)，有

设x≥0，证明．

证明：当0＜x＜π/2时，

设f(x)在区间[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)，f(x)不恒为常数，证明：在(a，b)内至少存在一点ξ，使得f’(ξ)＞0．

设矩阵求m、n的值及满足AB=C的所有矩阵B．

已知非齐次线性方程组有3个线性无关的解．证明方程组系数矩阵A的秩r(A)=2；

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设x→0时ax2+bx+c—cosx是比x2高阶的无穷小，其中a，b，c为常数，则（）

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