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  3. (1998年试题，十一)设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组AkX=0有解向量α，且Ak-1α≠0．证明：向量组α，Aα，…，Ak-1α是线性无关的．

(1998年试题，十一)设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组AkX=0有解向量α，且Ak-1α≠0．证明：向量组α，Aα，…，Ak-1α是线性无关的．

admin2013-12-27  119
问题 (1998年试题，十一)设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组AkX=0有解向量α，且Ak-1α≠0．证明：向量组α，Aα，…，Ak-1α是线性无关的．
选项
答案通常证明向量组线性无关的方法是按照定义，即设常数c1，c2，…，ck，使得c1α+c2Aα+…+ckAk-1α=0(1)如能证明要使(1)成立，则c1，c2，…，ck全为0即可．由题设已知Ak=0，且Ak-1α≠0，则用Ak-1左乘(1)→c1Ak-1α=0，从而c1=0，则(1)式变成c2Aα+…+ckAk-1α=0(2)同理用Ak-1左乘(2)→c2Ak-1α=0，从而c2=0．余下以此类推，可证得c3=c4=…=ck=0．因此向量组α，Aα，…，Ak-1α线性无关．
解析 涉及到一组抽象向量组的线性相关性的证明，一般可采用定义来证明．
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考研数学一

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