(1998年试题，十一)设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组AkX=0有解向量α，且Ak-1α≠0．证明：向量组α，Aα，…，Ak-1α是线性无关的．

admin2013-12-27 57

问题 (1998年试题，十一)设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组A^kX=0有解向量α，且A^k-1α≠0．证明：向量组α，Aα，…，A^k-1α是线性无关的．

选项

答案通常证明向量组线性无关的方法是按照定义，即设常数c₁，c₂，…，c_k，使得c₁α+c₂Aα+…+c_kA^k-1α=0(1)如能证明要使(1)成立，则c₁，c₂，…，c_k全为0即可．由题设已知A^k=0，且A^k-1α≠0，则用A^k-1左乘(1)→c₁A^k-1α=0，从而c₁=0，则(1)式变成c₂Aα+…+c_kA^k-1α=0(2)同理用A^k-1左乘(2)→c₂A^k-1α=0，从而c₂=0．余下以此类推，可证得c₃=c₄=…=c_k=0．因此向量组α，Aα，…，A^k-1α线性无关．

解析涉及到一组抽象向量组的线性相关性的证明，一般可采用定义来证明．

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(1998年试题，十一)设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组AkX=0有解向量α，且Ak-1α≠0．证明：向量组α，Aα，…，Ak-1α是线性无关的．

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