2. 考研
  3. 设f(x)在[－a，a](a＞0)上有四阶连续的导数，存在． (1)写出f(x)的带拉格朗日余项的麦克劳林公式； (2)证明：存在ξ1，ξ2∈[－a,a]，使得

设f(x)在[－a，a](a＞0)上有四阶连续的导数，存在． (1)写出f(x)的带拉格朗日余项的麦克劳林公式； (2)证明：存在ξ1，ξ2∈[－a,a]，使得

admin2018-01-23  74
问题 设f(x)在[－a，a](a＞0)上有四阶连续的导数，存在．
(1)写出f(x)的带拉格朗日余项的麦克劳林公式；
(2)证明：存在ξ1，ξ2∈[－a,a]，使得
选项
答案(1)由[*]存在，得f(0)＝0，f’(0)＝0，f’’(0)＝0， 则f(x)的带拉格朗日余项的麦克劳林公式为f(x)＝[*]x4其中ξ介于0 与x之间． (2)上式两边积分得∫－aaf(x)dx＝[*]∫－aaf(4)(ξ)x4dx． 因为f(4)(x)在[－a，a]上为连续函数，所以f(4)(x)在[－a，a]上取到最大值M和最小值 m，于是有mx4≤f(4)≤Mx4， 两边在[－a，a]上积分得[*]a5≤∫－aaf(4)(ξ)x4dx≤[*]a5， 从而[*]∫－aaf(4)(ξ)x4dx≤[*]≤∫－aaf(x)dx≤[*]， 于是m≤[*]∫－aaf(x)dx≤M， 根据介值定理，存在ξ1∈[－a，a]，使得 f(4)(ξ1)＝[*]∫－aaf(x)dx，或a5f(4)(ξ1)＝60∫－aaf(x)dx． 再由积分中值定理，存在ξ2∈[－a，a]，使得 a5f(4)(ξ1)＝60∫－aaf(x)dx＝120af(ξ2)，即a4f(4)(ξ1)＝120f(ξ2)．
解析
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考研数学三

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