设f(x)在[－a，a](a＞0)上有四阶连续的导数，存在． (1)写出f(x)的带拉格朗日余项的麦克劳林公式； (2)证明：存在ξ1，ξ2∈[－a,a]，使得

admin2018-01-23 47

问题设f(x)在[－a，a](a＞0)上有四阶连续的导数，

存在．
(1)写出f(x)的带拉格朗日余项的麦克劳林公式；
(2)证明：存在ξ₁，ξ₂∈[－a,a]，使得

选项

答案(1)由[*]存在，得f(0)＝0，f’(0)＝0，f’’(0)＝0，则f(x)的带拉格朗日余项的麦克劳林公式为f(x)＝[*]x⁴其中ξ介于0 与x之间． (2)上式两边积分得∫_－a^af(x)dx＝[*]∫_－a^af⁽⁴⁾(ξ)x⁴dx．因为f⁽⁴⁾(x)在[－a，a]上为连续函数，所以f⁽⁴⁾(x)在[－a，a]上取到最大值M和最小值 m，于是有mx⁴≤f⁽⁴⁾≤Mx⁴，两边在[－a，a]上积分得[*]a⁵≤∫_－a^af⁽⁴⁾(ξ)x⁴dx≤[*]a⁵，从而[*]∫_－a^af⁽⁴⁾(ξ)x⁴dx≤[*]≤∫_－a^af(x)dx≤[*]，于是m≤[*]∫_－a^af(x)dx≤M，根据介值定理，存在ξ₁∈[－a，a]，使得 f⁽⁴⁾(ξ₁)＝[*]∫_－a^af(x)dx，或a⁵f⁽⁴⁾(ξ₁)＝60∫_－a^af(x)dx．再由积分中值定理，存在ξ₂∈[－a，a]，使得 a⁵f⁽⁴⁾(ξ₁)＝60∫_－a^af(x)dx＝120af(ξ₂)，即a⁴f⁽⁴⁾(ξ₁)＝120f(ξ₂)．

解析

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考研数学三

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