设f(x)在[-a,a](a>0)上有四阶连续的导数,存在. (1)写出f(x)的带拉格朗日余项的麦克劳林公式; (2)证明:存在ξ1,ξ2∈[-a,a],使得

admin2018-01-23  32

问题 设f(x)在[-a,a](a>0)上有四阶连续的导数,存在.
(1)写出f(x)的带拉格朗日余项的麦克劳林公式;
(2)证明:存在ξ1,ξ2∈[-a,a],使得

选项

答案(1)由[*]存在,得f(0)=0,f’(0)=0,f’’(0)=0, 则f(x)的带拉格朗日余项的麦克劳林公式为f(x)=[*]x4其中ξ介于0 与x之间. (2)上式两边积分得∫-aaf(x)dx=[*]∫-aaf(4)(ξ)x4dx. 因为f(4)(x)在[-a,a]上为连续函数,所以f(4)(x)在[-a,a]上取到最大值M和最小值 m,于是有mx4≤f(4)≤Mx4, 两边在[-a,a]上积分得[*]a5≤∫-aaf(4)(ξ)x4dx≤[*]a5, 从而[*]∫-aaf(4)(ξ)x4dx≤[*]≤∫-aaf(x)dx≤[*], 于是m≤[*]∫-aaf(x)dx≤M, 根据介值定理,存在ξ1∈[-a,a],使得 f(4)1)=[*]∫-aaf(x)dx,或a5f(4)1)=60∫-aaf(x)dx. 再由积分中值定理,存在ξ2∈[-a,a],使得 a5f(4)1)=60∫-aaf(x)dx=120af(ξ2),即a4f(4)1)=120f(ξ2).

解析
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