设函数f(x)在区间[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f’(x)＞0，如果存在，证明： (1)f(x)＞0，x∈(a，b)； (2)存在ξ∈(a，b)，使得 (3)存在与(2)中ξ不同的η∈(a，b)，使得f’(η)(b2—a2)=

admin2018-11-11 85

问题设函数f(x)在区间[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f’(x)＞0，如果

存在，证明：
(1)f(x)＞0，x∈(a，b)；
(2)存在ξ∈(a，b)，使得

(3)存在与(2)中ξ不同的η∈(a，b)，使得f’(η)(b²—a²)=

选项

答案 (1)由于f(x)在[a，b]上连续，所以f(a)=[*] 又f’(x)＞0，故f(x)单调递增，对x∈(a，b)，有f(x)＞f(a)=0． (2)对函数g(x)=x²和h(x)=∫_a^xf(t)dt在[a，b]上利用柯西中值定理，存在ξ∈(a，b)，使 [*] (3)在[a，ξ]上由拉格朗日中值定理，存在η∈(a，ξ)，使得f(ξ)=f’(η)(ξ一a)，再由(2)的结论可得f’(η)(b²-a²)=[*]

解析

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考研数学二

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设函数f(x)在区间[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f’(x)＞0，如果存在，证明： (1)f(x)＞0，x∈(a，b)； (2)存在ξ∈(a，b)，使得 (3)存在与(2)中ξ不同的η∈(a，b)，使得f’(η)(b2—a2)=

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