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设函数f(x)在区间[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f’(x)>0,如果存在,证明: (1)f(x)>0,x∈(a,b); (2)存在ξ∈(a,b),使得 (3)存在与(2)中ξ不同的η∈(a,b),使得f’(η)(b2—a2)=
设函数f(x)在区间[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f’(x)>0,如果存在,证明: (1)f(x)>0,x∈(a,b); (2)存在ξ∈(a,b),使得 (3)存在与(2)中ξ不同的η∈(a,b),使得f’(η)(b2—a2)=
admin
2018-11-11
85
问题
设函数f(x)在区间[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f’(x)>0,如果
存在,证明:
(1)f(x)>0,x∈(a,b);
(2)存在ξ∈(a,b),使得
(3)存在与(2)中ξ不同的η∈(a,b),使得f’(η)(b
2
—a
2
)=
选项
答案
(1)由于f(x)在[a,b]上连续,所以f(a)=[*] 又f’(x)>0,故f(x)单调递增,对x∈(a,b),有f(x)>f(a)=0. (2)对函数g(x)=x
2
和h(x)=∫
a
x
f(t)dt在[a,b]上利用柯西中值定理,存在ξ∈(a,b),使 [*] (3)在[a,ξ]上由拉格朗日中值定理,存在η∈(a,ξ),使得f(ξ)=f’(η)(ξ一a),再由(2)的结论可得f’(η)(b
2
-a
2
)=[*]
解析
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考研数学二
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