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  3. 设A，B是n阶矩阵，A有特征值λ=1，2，…，n．证明： AB和BA有相同的特征值，且AB～BA；

设A，B是n阶矩阵，A有特征值λ=1，2，…，n．证明： AB和BA有相同的特征值，且AB～BA；

admin2016-03-05  33
问题 设A，B是n阶矩阵，A有特征值λ=1，2，…，n．证明：
AB和BA有相同的特征值，且AB～BA；
选项
答案由题意可知，｜A｜=n!≠0，故A可逆．则有｜λE—AB｜=｜A(λA一1一B｜=｜A｜｜λE—BA｜｜A一1｜｜λE一BA｜．即AB和BA有相同的特征多项式，故AB和BA有相同的特征值．若取可逆矩阵P=A，则有P一1ABP=A一1ABA=BA，故AB~BA．
解析
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考研数学二

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