已知二次型f(x1，x2，x3)=xTAx在正交变换x=Qy下的标准形为y12+y22，且Q的第3列为 (1)求矩阵A． (2)证明A+E为正定矩阵，其中E为3阶单位矩阵．

admin2020-09-25 79

问题已知二次型f(x₁，x₂，x₃)=x^TAx在正交变换x=Qy下的标准形为y₁²+y₂²，且Q的第3列为

(1)求矩阵A．
(2)证明A+E为正定矩阵，其中E为3阶单位矩阵．

选项

答案(1)由于二次型在正交变换x=Qy下的标准形为y₁²+y₂²，所以A的特征值为λ₁=λ₂=1，λ₃=O．由于Q的第3列为[*]．所以A对应于λ₃=0的特征向量为α₃=[*] 由于A是实对称矩阵，所以对应于不同特征值的特征向量是相互正交的，设属于λ₁=λ₂=1的特征向量为α=(x₁，x₂，x₃)^T，则α^Tα₃=0，即[*] 取α₁=(0，1，0)^T，α₂=(一1，0，1)^T，则α₁，α₂与α₃是正交的，即为对应于λ₁=λ₂=1的特征向量．由于α₁，α₂是相互正交的，所以只需单位化： [*] (2)由于A的特征值为1，1，0，所以A+E的特征值为2，2，1，则A+E的特征值全大于零，故A+E是正定矩阵．

解析

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考研数学三

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已知二次型f(x1，x2，x3)=xTAx在正交变换x=Qy下的标准形为y12+y22，且Q的第3列为 (1)求矩阵A． (2)证明A+E为正定矩阵，其中E为3阶单位矩阵．

考研数学三

设α=(1，-1，a)T是A=的伴随矩阵A的特征向量，其中r(A)=3，则a=__________

方程组x1+x2+x3+x4+x5=0的基础解系是_________．

设u=e—xsin的值为_________．

设A是n阶矩阵，对于齐次线性方程组Ax=0，如果矩阵A中的每行元素的和均为0，且r(A)=n-1，则方程组的通解是______

已知矩阵A=只有一个线性无关的特征向量，那么A的三个特征值是________。

设A=，B是3阶非零矩阵，且AB=O，则a=________

设A为m×n实矩阵，E为n阶单位矩阵．已知矩阵B=λE+ATA，试证：当λ＞0时，矩阵B为正定矩阵．

设4维向量组α1=(1+a，1，1，1)T，α2=(2，2+a，2，2)T，α3=(3，3，3+a，3)T，α4=(4，4，4，4+a)T，问a为何值时，α1，α2，α3，α4线性相关?当α1，α2，α3，α4线性相关时，求其一个极大线性无关组，并将其余向

设向量α1，α2，…，αt是齐次线性方程组AX=0的一个基础解系，向量β不是方程组AX=0的解，即Aβ≠0．试证明；向量组β，β+α1，…，β+αt线性无关．

(97年)设A为n阶非奇异矩阵，α为n维列向量，b为常数，记分块矩阵其中A*是矩阵A的伴随矩阵，I为n阶单位矩阵．(1)计算并化简PQ；(2)证明：矩阵Q可逆的充分必要条件是αTA-1α≠b．

简述汇率对物价水平的影响。

下列哪一个措施不属于三级预防

棚式明洞由顶盖和内外边墙组成，其顶盖通常为()结构。

会计报表只包括资产负债表、利润表和现金流量表。()

根据国际货币基金组织规定的方法和内容，国际收支平衡表包括(。)几大项目。

根据法律规定，下列可以作为个人质押贷款质物的有()。

Studentswhosepreviouseducationalexperiencewas______oftenfindithardtobecomeindependentlearners.【36】

Modernmaniscarelesswhendisposing______hisgarbage.

已知二次型f(x1，x2，x3)=xTAx在正交变换x=Qy下的标准形为y12+y22，且Q的第3列为 (1)求矩阵A． (2)证明A+E为正定矩阵，其中E为3阶单位矩阵．

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已知矩阵A=只有一个线性无关的特征向量，那么A的三个特征值是________。

设A=，B是3阶非零矩阵，且AB=O，则a=________

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设4维向量组α1=(1+a，1，1，1)T，α2=(2，2+a，2，2)T，α3=(3，3，3+a，3)T，α4=(4，4，4，4+a)T，问a为何值时，α1，α2，α3，α4线性相关?当α1，α2，α3，α4线性相关时，求其一个极大线性无关组，并将其余向

设向量α1，α2，…，αt是齐次线性方程组AX=0的一个基础解系，向量β不是方程组AX=0的解，即Aβ≠0．试证明；向量组β，β+α1，…，β+αt线性无关．

(97年)设A为n阶非奇异矩阵，α为n维列向量，b为常数，记分块矩阵其中A*是矩阵A的伴随矩阵，I为n阶单位矩阵．(1)计算并化简PQ；(2)证明：矩阵Q可逆的充分必要条件是αTA-1α≠b．

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设α=(1，-1，a)T是A=的伴随矩阵A的特征向量，其中r(A)=3，则a=__________