已知二次型f(x1，x2，x3)=xTAx在正交变换x=Qy下的标准形为y12+y22，且Q的第3列为 (1)求矩阵A． (2)证明A+E为正定矩阵，其中E为3阶单位矩阵．

admin2020-09-25 105

问题已知二次型f(x₁，x₂，x₃)=x^TAx在正交变换x=Qy下的标准形为y₁²+y₂²，且Q的第3列为

(1)求矩阵A．
(2)证明A+E为正定矩阵，其中E为3阶单位矩阵．

选项

答案(1)由于二次型在正交变换x=Qy下的标准形为y₁²+y₂²，所以A的特征值为λ₁=λ₂=1，λ₃=O．由于Q的第3列为[*]．所以A对应于λ₃=0的特征向量为α₃=[*] 由于A是实对称矩阵，所以对应于不同特征值的特征向量是相互正交的，设属于λ₁=λ₂=1的特征向量为α=(x₁，x₂，x₃)^T，则α^Tα₃=0，即[*] 取α₁=(0，1，0)^T，α₂=(一1，0，1)^T，则α₁，α₂与α₃是正交的，即为对应于λ₁=λ₂=1的特征向量．由于α₁，α₂是相互正交的，所以只需单位化： [*] (2)由于A的特征值为1，1，0，所以A+E的特征值为2，2，1，则A+E的特征值全大于零，故A+E是正定矩阵．

解析

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考研数学三

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已知二次型f(x1，x2，x3)=xTAx在正交变换x=Qy下的标准形为y12+y22，且Q的第3列为 (1)求矩阵A． (2)证明A+E为正定矩阵，其中E为3阶单位矩阵．

考研数学三

微分方程(y+x3)dx一2xdy=0满足的特解为_________。

设α=(1，-1，a)T，β=(1，a，2)T，A=E+αβT，且λ=3是矩阵A的特征值，则矩阵A属于特征值λ=3的特征向量是_________

已知且n维向量α1，α2，α3线性无关，则α1+α2，α2+2α3，Xα3+Yα1线性相关的概率为________．

已知矩阵，若线性方程组Ax=b有无穷多解，则a=________．

(96年)设某种商品的单价为p时，售出的商品数量Q可以表示成Q＝－c．其中a、b、c均为正数，且a＞bc．(1)求P在何范围变化时，使相应销售额增加或减少；(2)要使销售额最大，商品单价P应取何值?最大销售额是多少?

设A为n阶非奇异矩阵，α为n维列向量，b为常数，记分块矩阵其中A*是矩阵A的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵．证明矩阵Q可逆的充分必要条件是αTA－1α≠b．

[2003年]设F(x)=f(x)g(x)，其中函数f(x)，g(x)在(－∞，+∞)内满足以下条件：f/(x)=g(x)，g’(x)=f(x)，且f(0)=0，f(x)+g(x)=2x．求出F(x)的表达式．

设X1，X2，…，Xn是来自标准正态总体的简单随机样本，和S相应为样本均值和样本标准差，则()．

设有n元实二次型f(x1，x2，…，xn)=(x1+α1x2)2+(x2+x2x3)2+…+(xn-1+an-1xn)2+(xn+anx1)2，其中ai(i=1，2，…，n)为实数。试问：当a1，a2，…，an满足何种条件时，二次型f(x1，x2，…，xn

说明磁场强度与磁感应强度的区别?

吴某，女，24岁，因化脓性扁桃体炎需注射青霉素，皮试阴性。肌内注射青霉素后5min，病人出现胸闷、气急、面色苍白、脉搏细弱、血压下降。你首先应该给予的急救措施是（　　）。【历年考试真题】

人民法院开庭审理刘某故意杀人案，经过法庭调查和辩论后，合议庭对控诉方指控刘某故意杀人的证据仍有疑问，于是宣布休庭，对证据进行调查核实。人民法院可以依法进行下列哪些调查工作?()

下面四个选项中,说法不正确的是()。

(2006，2010)微分方程y"+2y=0的通解是()。

下列加油加气站应设消防给水系统的是()。

我国的教育目的是什么?结合当前实际论述在教育教学工作中该如何贯彻落实?

AcupofteaisalmostasymbolofBritishculture.Asanation,wearewell-knownforourstronglikingforthisparticularhot

自觉维护国家的利益，就要承担对国家应尽的义务。具体表现在

已知二次型f(x1，x2，x3)=xTAx在正交变换x=Qy下的标准形为y12+y22，且Q的第3列为 (1)求矩阵A． (2)证明A+E为正定矩阵，其中E为3阶单位矩阵．

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下面四个选项中,说法不正确的是()。

(2006，2010)微分方程y"+2y=0的通解是()。

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