已知二次型f(x1，x2，x3)=xTAx在正交变换x=Qy下的标准形为y12+y22，且Q的第3列为 (1)求矩阵A． (2)证明A+E为正定矩阵，其中E为3阶单位矩阵．

admin2020-09-25 93

问题已知二次型f(x₁，x₂，x₃)=x^TAx在正交变换x=Qy下的标准形为y₁²+y₂²，且Q的第3列为

(1)求矩阵A．
(2)证明A+E为正定矩阵，其中E为3阶单位矩阵．

选项

答案(1)由于二次型在正交变换x=Qy下的标准形为y₁²+y₂²，所以A的特征值为λ₁=λ₂=1，λ₃=O．由于Q的第3列为[*]．所以A对应于λ₃=0的特征向量为α₃=[*] 由于A是实对称矩阵，所以对应于不同特征值的特征向量是相互正交的，设属于λ₁=λ₂=1的特征向量为α=(x₁，x₂，x₃)^T，则α^Tα₃=0，即[*] 取α₁=(0，1，0)^T，α₂=(一1，0，1)^T，则α₁，α₂与α₃是正交的，即为对应于λ₁=λ₂=1的特征向量．由于α₁，α₂是相互正交的，所以只需单位化： [*] (2)由于A的特征值为1，1，0，所以A+E的特征值为2，2，1，则A+E的特征值全大于零，故A+E是正定矩阵．

解析

转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/uWx4777K

考研数学三

相关试题推荐

随机试题

最新回复(0)

已知二次型f(x1，x2，x3)=xTAx在正交变换x=Qy下的标准形为y12+y22，且Q的第3列为 (1)求矩阵A． (2)证明A+E为正定矩阵，其中E为3阶单位矩阵．

考研数学三

设A，B都是三阶矩阵，A＝且满足(A*)－1B＝ABA+2A2，则B＝______．

设A=，B是3阶非零矩阵，且AB=O，则Ax=0的通解是__________．

微分方程y"+2y’+5y=0的通解为________。

设4阶矩阵A与B相似，矩阵A的特征值为则行列式|B-1一E|=________。

设A是秩为3的5×4矩阵，α1，α2，α3是非齐次线性方程组Ax=b的三个不同的解，如果α1+α2+2α3=(2，0，0，0)T，3α1+α2=(2，4，6，8)T，则方程组Ax=b的通解是___________。

(2012年)已知函数f(x)满足方程f’’(x)+f’(x)一2f(x)=0及f’’(x)+f(x)=2ex．(Ⅰ)求f(x)的表达式；(Ⅱ)求曲线y=f(x2)∫0x(一t2)出的拐点．

(97年)设A为n阶非奇异矩阵，α为n维列向量，b为常数，记分块矩阵其中A*是矩阵A的伴随矩阵，I为n阶单位矩阵．(1)计算并化简PQ；(2)证明：矩阵Q可逆的充分必要条件是αTA-1α≠b．

(14年)设函数f(χ)，g(χ)在区间[a，b]上连续，且f(χ)单调增加，0≤g(χ)≤1．证明：(Ⅰ)0≤∫aχg(t)dt≤(χ－a)，χ∈[a，b](Ⅱ)f(χ)dχ≤∫abf(χ)g(χ)dχ．

齐次线性方程组只有零解，则λ应满足的条件是__________．

喷头按灵敏度分类可分为()。

低钙血症的临床表现有

A．白芍、白术B．当归、白芍C．柴胡、白术D．羌活、防风E．防风、甘草川芎茶调散与九味羌活汤的组成药物均有

简述肝性脑病的常见诱因。

泡腾颗粒剂中酸与碱遇水后，可发生反应，并产生大量氧气，使崩解加快。()

患者，女，43岁。外伤所致左侧胫腓骨骨折，复位后给予小腿管型石膏外固定，患者主诉石膏内有持续性局部疼痛。为避免形成石膏压疮，在护理石膏患者时禁止做的工作是

在进行有关抗震设计的以下哪些内容时，需要考虑建筑场地的类别?()

采用爆管法进行旧管更新，按照爆管工具的不同，可将爆管分为()。

某小企业以80万元价格对外出售厂房，该房产的原值为100万元，已提折旧60万元。该房产适用的营业税率为5％。请回答下列问题：以下对该项房产销售时涉及的营业税描述正确的有()。