已知二次型f(x1，x2，x3)=xTAx在正交变换x=Qy下的标准形为y12+y22，且Q的第3列为 (1)求矩阵A． (2)证明A+E为正定矩阵，其中E为3阶单位矩阵．

admin2020-09-25 53

问题已知二次型f(x₁，x₂，x₃)=x^TAx在正交变换x=Qy下的标准形为y₁²+y₂²，且Q的第3列为

(1)求矩阵A．
(2)证明A+E为正定矩阵，其中E为3阶单位矩阵．

选项

答案(1)由于二次型在正交变换x=Qy下的标准形为y₁²+y₂²，所以A的特征值为λ₁=λ₂=1，λ₃=O．由于Q的第3列为[*]．所以A对应于λ₃=0的特征向量为α₃=[*] 由于A是实对称矩阵，所以对应于不同特征值的特征向量是相互正交的，设属于λ₁=λ₂=1的特征向量为α=(x₁，x₂，x₃)^T，则α^Tα₃=0，即[*] 取α₁=(0，1，0)^T，α₂=(一1，0，1)^T，则α₁，α₂与α₃是正交的，即为对应于λ₁=λ₂=1的特征向量．由于α₁，α₂是相互正交的，所以只需单位化： [*] (2)由于A的特征值为1，1，0，所以A+E的特征值为2，2，1，则A+E的特征值全大于零，故A+E是正定矩阵．

解析

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考研数学三

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已知二次型f(x1，x2，x3)=xTAx在正交变换x=Qy下的标准形为y12+y22，且Q的第3列为 (1)求矩阵A． (2)证明A+E为正定矩阵，其中E为3阶单位矩阵．

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微分方程的通解为y=_________．

设某种商品的合格率为90％，某单位要想给100名职工每人一件这种商品．试求：该单位至少购买多少件这种商品才能以97．5％的概率保证每人都可以得到一件合格品?

已知α1，α2，α3线性无关，α1+α2，aα2—α3，α1—α2+α3线性相关，则a=___________．

已知方程组无解，则a=________.

已知实二次型f(x1，x2，x3)=a(x12，x22，x32)+4x1x2+4x1x3+4x2x3经正交变换x=Py可化成标准形f=6y12，则a=_______．

设A=，B是3阶非零矩阵，且AB=O，则a=________

设α1=(1，2，0)T，α2=(1，a+2，一3a)T，α3=(一1，一b一2，a+2b)T，β=(1，3，一3)T，试讨论当a，b为何值时。(Ⅰ)β不能由α1，α2，α3线性表示；(Ⅱ)β可由α1，α2，α3唯一地线性表示，并求出表

设A为n阶非奇异矩阵，α为n维列向量，b为常数，记分块矩阵其中A*是矩阵A的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵．计算并化简PQ；

[2015年]设函数f(x)在定义域I上的导数大于零．若对任意的x0∈I，曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线与直线x=x0及x轴所围成区域的面积恒为4，且f(0)=2，求f(x)的表达式．

[2004年]二次型f(x1，x2，x3)=(x1+x2)2+(x2－x3)2+(x3+x2)2的秩为_________．

设z＝xy3＋2yx2，求．

终止心房扑动最有效的治疗是(　　)

某工程双代号网络计划如下图所示，其关键线路有()条。

职业道德内在的稳定性和连续性特点，反映在从事不同职业人的()的差异中。

被李大钊称为“是20世纪中世界革命之先声”的革命是()。

某地发生一起火灾，消防员接到报警后，火速赶往火灾现场扑救，消防车由于行车过快，不幸将一名骑自行车的人撞成重伤。受害者有权向消防部门提起国家赔偿。

二进制数110001转换成十进制数是

Francemightbedescribedasan’all-round’country,onethathasachievedresultsofequalimportanceinmanydiversebranches

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