已知二次型f(x1，x2，x3)=xTAx在正交变换x=Qy下的标准形为y12+y22，且Q的第3列为 (1)求矩阵A． (2)证明A+E为正定矩阵，其中E为3阶单位矩阵．

admin2020-09-25 104

问题已知二次型f(x₁，x₂，x₃)=x^TAx在正交变换x=Qy下的标准形为y₁²+y₂²，且Q的第3列为

(1)求矩阵A．
(2)证明A+E为正定矩阵，其中E为3阶单位矩阵．

选项

答案(1)由于二次型在正交变换x=Qy下的标准形为y₁²+y₂²，所以A的特征值为λ₁=λ₂=1，λ₃=O．由于Q的第3列为[*]．所以A对应于λ₃=0的特征向量为α₃=[*] 由于A是实对称矩阵，所以对应于不同特征值的特征向量是相互正交的，设属于λ₁=λ₂=1的特征向量为α=(x₁，x₂，x₃)^T，则α^Tα₃=0，即[*] 取α₁=(0，1，0)^T，α₂=(一1，0，1)^T，则α₁，α₂与α₃是正交的，即为对应于λ₁=λ₂=1的特征向量．由于α₁，α₂是相互正交的，所以只需单位化： [*] (2)由于A的特征值为1，1，0，所以A+E的特征值为2，2，1，则A+E的特征值全大于零，故A+E是正定矩阵．

解析

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考研数学三

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已知二次型f(x1，x2，x3)=xTAx在正交变换x=Qy下的标准形为y12+y22，且Q的第3列为 (1)求矩阵A． (2)证明A+E为正定矩阵，其中E为3阶单位矩阵．

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微分方程y"+2y’+5y=0的通解为________。

已知，A是A的伴随矩阵，那么A的特征值是________。

已知矩阵A=只有一个线性无关的特征向量，那么A的三个特征值是________。

已知实二次型f(x1，x2，x3)=a(x12，x22，x32)+4x1x2+4x1x3+4x2x3经正交变换x=Py可化成标准形f=6y12，则a=_______．

设向量α1，α2，…，αt是齐次线性方程组AX=0的一个基础解系，向量β不是方程组AX=0的解，即Aβ≠0．试证明；向量组β，β+α1，…，β+αt线性无关．

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设齐次线性方程组经高斯消元化成的阶梯形矩阵是，则自由变量不能取成

实二次型f(x1，x2，…，xn)的秩为r，符号差为s，且f和一f合同，则必有()

[2015年]设二次型f(x1，x2，x3)在正交变换X=PY下的标准形为2y12+y22－y32，其中P=(e1，e2，e3)．若Q=(e1，－e3，e2)，则f(x1，x2，x3)在正交变换X=QY下的标准形为()．

压力容器用钢的基本要求是有较高的强度，良好的塑性、韧性、制造性能和与介质的相容性，硫和磷是钢中最有害的元素，我国压力容器对硫和磷含量控制在()以下。

某妇女，孕36周，行产前检查，下列结果哪项异常

副霍乱病人的便是细菌性痢疾病人的便是

喹诺酮类药物影响儿童对钙离子吸收的结构因素是

A．胃肠道反应B．肌病C．神经系统疾病D．血液系统疾病E．心血管系统疾病氨基糖苷类药物引起的典型药源性疾病是()。

《UCP600》规定，标明“正本”(original)字样的单据为正本单据，须经出单人签署方为有效。标明“副本”(Copy)或不标明“正本”字样的单据为副本单据，无须签署。()

关于函数重载，下列叙述中错误的是()。

Thisisanexcitingareaofstudy,andone______newapplicationsarebeingdiscoveredalmostdaily.

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