已知二次型f(x1，x2，x3)=xTAx在正交变换x=Qy下的标准形为y12+y22，且Q的第3列为 (1)求矩阵A． (2)证明A+E为正定矩阵，其中E为3阶单位矩阵．

admin2020-09-25 72

问题已知二次型f(x₁，x₂，x₃)=x^TAx在正交变换x=Qy下的标准形为y₁²+y₂²，且Q的第3列为

(1)求矩阵A．
(2)证明A+E为正定矩阵，其中E为3阶单位矩阵．

选项

答案(1)由于二次型在正交变换x=Qy下的标准形为y₁²+y₂²，所以A的特征值为λ₁=λ₂=1，λ₃=O．由于Q的第3列为[*]．所以A对应于λ₃=0的特征向量为α₃=[*] 由于A是实对称矩阵，所以对应于不同特征值的特征向量是相互正交的，设属于λ₁=λ₂=1的特征向量为α=(x₁，x₂，x₃)^T，则α^Tα₃=0，即[*] 取α₁=(0，1，0)^T，α₂=(一1，0，1)^T，则α₁，α₂与α₃是正交的，即为对应于λ₁=λ₂=1的特征向量．由于α₁，α₂是相互正交的，所以只需单位化： [*] (2)由于A的特征值为1，1，0，所以A+E的特征值为2，2，1，则A+E的特征值全大于零，故A+E是正定矩阵．

解析

转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/uWx4777K

考研数学三

相关试题推荐

随机试题

最新回复(0)

已知二次型f(x1，x2，x3)=xTAx在正交变换x=Qy下的标准形为y12+y22，且Q的第3列为 (1)求矩阵A． (2)证明A+E为正定矩阵，其中E为3阶单位矩阵．

考研数学三

设3阶矩阵A的特征值为1，2，2，E为3阶单位矩阵，则｜4A-1-E｜=_____．

微分方程+y=1的通解是_________．

设三阶行列式D3的第二行元素分别为1、一2、3，对应的代数余子式分别为一3、2、1，则D3=________。

设矩阵A与B=相似，则r（A）+r（A一2E）=________。

设A是三阶实对称矩阵，E三阶单位矩阵，若A2+A=2E，且｜A｜=4，则二次型xTAx的规范形为()

设有两条抛物线y=nx2+1／n和y=(n+1)x2+1／(n+1)．记它们交点的横坐标的绝对值为an．求级数的和．

设向量α1，α2，…，αt是齐次线性方程组．AX=0的一个基础解系，向量β不是AX=0的解，即Aβ≠0．试证明：向量组β，β+α1，β+α2，…，β+αt线性无关．

设α1，α2，α3均为线性方程组Ax=b的解，则下列向量中α1-α2，α1—2α2+α3，(α1-α3)，α1+3α2—4α3是导出组Ax=0的解向量的个数为()

[2015年]设二次型f(x1，x2，x3)在正交变换X=PY下的标准形为2y12+y22－y32，其中P=(e1，e2，e3)．若Q=(e1，－e3，e2)，则f(x1，x2，x3)在正交变换X=QY下的标准形为()．

设有n元实二次型f(x1，x2，…，xn)=(x1+α1x2)2+(x2+x2x3)2+…+(xn-1+an-1xn)2+(xn+anx1)2，其中ai(i=1，2，…，n)为实数。试问：当a1，a2，…，an满足何种条件时，二次型f(x1，x2，…，xn

根据《法律援助条例》规定，请求支付劳动报酬的，向()的法律援助机构提出申请。

治疗湿热黄疽可选用

痢疾初起治疗当忌

肢端肥大症患者血钙较高时常提示

实验室测定血清总钙的参考方法是

下列关于磁共振图像矩阵的叙述，正确的是

某公司去年有员工830人，今年男员工人数比去年减少6％，女员工人数比去年增加5％，员工总数比去年增加3人，问今年男员工有多少人?()

下面是某求助者MMPI-2的测验结果24项版本的HAMD量表，其因子数量为()。(A)2(B)3(C)5(D)7