A＝，证明｜χE－A｜的4个根之和等于a11＋a22＋a33＋a44．

admin2018-11-23 30

问题 A＝

，证明｜χE－A｜的4个根之和等于a₁₁＋a₂₂＋a₃₃＋a₄₄．

选项

答案设4个根为χ₁，χ₂，χ₃，χ₄．因为｜χE－A｜是χ的4次多项式，并且χ⁴的系数为1，所以｜χE－A ｜＝(χ－χ₁)(χ－χ₂)(χ－χ₃)(χ－χ₄)．考察χ³的系数．从右侧看为－(χ₁＋χ₂＋χ₃＋χ₄)；再从左侧看，因为｜χE－A｜对角线外的元素都是不含χ的常数，所以在其展开式的24项中，只有对角线元素的乘积(χ－a₁₁)(χ－a₂₂)(χ－a₃₃)(χ－a₄₄)这一项包含χ³的，并且系数为－(a₁₁＋a₂₂＋a₃₃＋a₄₄)．于是χ₁＋χ₂＋χ₃＋χ₄＝a₁₁＋a₂₂＋a₃₃＋a₄₄．

解析

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考研数学一

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