n阶方阵A具有n个不同的特征值是A与对角阵相似的( )．

admin2020-06-05 15

问题 n阶方阵A具有n个不同的特征值是A与对角阵相似的( )．

选项 A、充分必要条件
B、充分而非必要条件
C、必要而非充分条件
D、既非充分也非必要条件

答案B

解析方阵A与对角阵相似的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量，而这n个线性无关的特征向量都有可能属于同一个特征值．如单位矩阵E只有特征值λ＝1，但它有n个线性无关的特征向量p₁，p₂，…，p_n，从而相似于对角阵．又若n阶方阵A有n个互不相同的特征值，则必有n个线性无关的特征向量，因而A必相似于对角阵，这说明n阶方阵A具有n个不同的特征值是A与对角阵相似的充分而非必要条件．

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