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设二次型f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，记 (1)证明二次型f对应的矩阵为2ααT+ββT． (2)若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12+y22．
设二次型f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，记 (1)证明二次型f对应的矩阵为2ααT+ββT． (2)若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12+y22．
admin
2020-09-25
38
问题
设二次型f(x
1
，x
2
，x
3
)=2(a
1
x
1
+a
2
x
2
+a
3
x
3
)
2
+(b
1
x
1
+b
2
x
2
+b
3
x
3
)
2
，记
(1)证明二次型f对应的矩阵为2αα
T
+ββ
T
．
(2)若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y
1
2
+y
2
2
．
选项
答案
(1)f=[*] =x
T
(2αα
T
)x+x
T
(ββ
T
)x=x
T
(2αα
T
+ββ
T
)x. 故f的矩阵A=2αα
T
+ββ
T
． (2)由于α，β正交且为单位向量，则α
T
β=β
T
α=0． ‖α‖=[*]=1，即α
T
α=1，β
T
β=1． ∵Aα=(2αα
T
+ββ
T
)α=2α‖α‖
2
+ββ
T
α=2α，∴α为A对应于λ
1
=2的特征向量． 又Aβ=(2αα
T
+ββ
T
)β=2αα
T
.β+β.β
T
β=β. β为A对应于λ
2
=1的特征向量． ∵r(A)=r(2αα
T
+ββ
T
)≤r(2αα
T
)+r(ββ
T
)=r(αα
T
)+r(ββ
T
)=2＜3， ∴λ
3
=0．∴矩阵A的特征值为λ
1
=2，λ
2
=1，λ
3
=0． 故f在正交变换下的标准形为2y
1
2
+y
2
2
．
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/vPx4777K
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考研数学三
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