2. 考研
  3. 设二次型f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，记 (1)证明二次型f对应的矩阵为2ααT+ββT． (2)若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12+y22．

设二次型f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，记 (1)证明二次型f对应的矩阵为2ααT+ββT． (2)若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12+y22．

admin2020-09-25  49
问题 设二次型f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，记
(1)证明二次型f对应的矩阵为2ααT+ββT．
(2)若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12+y22．
选项
答案(1)f=[*] =xT(2ααT)x+xT(ββT)x=xT(2ααT+ββT)x. 故f的矩阵A=2ααT+ββT． (2)由于α，β正交且为单位向量，则αTβ=βTα=0． ‖α‖=[*]=1，即αTα=1，βTβ=1． ∵Aα=(2ααT+ββT)α=2α‖α‖2+ββTα=2α，∴α为A对应于λ1=2的特征向量． 又Aβ=(2ααT+ββT)β=2ααT.β+β.βTβ=β. β为A对应于λ2=1的特征向量． ∵r(A)=r(2ααT+ββT)≤r(2ααT)+r(ββT)=r(ααT)+r(ββT)=2＜3， ∴λ3=0．∴矩阵A的特征值为λ1=2，λ2=1，λ3=0． 故f在正交变换下的标准形为2y12+y22．
解析
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考研数学三

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