设二次型f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，记 (1)证明二次型f对应的矩阵为2ααT+ββT． (2)若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12+y22．

admin2020-09-25 50

问题设二次型f(x₁，x₂，x₃)=2(a₁x₁+a₂x₂+a₃x₃)²+(b₁x₁+b₂x₂+b₃x₃)²，记

(1)证明二次型f对应的矩阵为2αα^T+ββ^T．
(2)若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y₁²+y₂²．

选项

答案(1)f=[*] =x^T(2αα^T)x+x^T(ββ^T)x=x^T(2αα^T+ββ^T)x. 故f的矩阵A=2αα^T+ββ^T． (2)由于α，β正交且为单位向量，则α^Tβ=β^Tα=0． ‖α‖=[*]=1，即α^Tα=1，β^Tβ=1． ∵Aα=(2αα^T+ββ^T)α=2α‖α‖²+ββ^Tα=2α，∴α为A对应于λ₁=2的特征向量．又Aβ=(2αα^T+ββ^T)β=2αα^T.β+β.β^Tβ=β. β为A对应于λ₂=1的特征向量． ∵r(A)=r(2αα^T+ββ^T)≤r(2αα^T)+r(ββ^T)=r(αα^T)+r(ββ^T)=2＜3， ∴λ₃=0．∴矩阵A的特征值为λ₁=2，λ₂=1，λ₃=0．故f在正交变换下的标准形为2y₁²+y₂²．

解析

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考研数学三

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设二次型f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，记 (1)证明二次型f对应的矩阵为2ααT+ββT． (2)若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12+y22．

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设行向量组(2，1，1，1)，(2，1，a，a)，(3，2，1，a)，(4，3，2，1)线性相关，且a≠1，则a=___________.

曲线y=x2与直线y=x+2所围成的平面图形面积为________．

设f(x)的一个原函数为=______．

设连续型随机变量X的概率密度为f(x)=F(X)为X的分布函数，E(X)为X的数学期望，则P{F(X)＞E(X)—1}=________．

(15年)设随机变量X的概率密度为对X进行独立重复的观测，直到第2个大于3的观测值出现时停止，记Y为观测次数．(Ⅰ)求Y的概率分布；(Ⅱ)求EY．

(2013年)设函数f(x)在[0，+∞)上可导，f(0)=0且=2，证明：(I)存在a＞0，使得f(a)=1；(Ⅱ)对(I)中的a，存在ξ∈(0，a)，使得f’(ξ)=。

设随机变量X，Y相互独立，且X的概率分布为P{X＝0}＝P{X＝2}＝，Y的概率密度为(Ⅰ)求P{Y≤EY}；(Ⅱ)求Z＝X＋Y的概率密度．

[2010年]设y1，y2是一阶线性非齐次微分方程y’+p(x)y=q(x)的两个特解．若常数λ，μ使λy1+μy2是该方程的解，λy1-μy2是该方程对应的齐次方程的解，则()．

[2008年]设则()．

设有n元实二次型f(x1，x2，…，xn)=(x1+α1x2)2+(x2+x2x3)2+…+(xn-1+an-1xn)2+(xn+anx1)2，其中ai(i=1，2，…，n)为实数。试问：当a1，a2，…，an满足何种条件时，二次型f(x1，x2，…，xn

合理设计中学语文教学过程应从哪些方面着手?

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在下列因素中，确定基准收益率的基础是(　　)。

在《国民经济行业分类和代码》中，将国民经济各行业划分为()。

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甲通过计算机网络给乙发消息，表示甲已同意与乙签订合同，不久后甲不承认发过该消息。为了防止这种情况的出现，应该在计算机网络中采取______技术。

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