设二次型f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，记 (1)证明二次型f对应的矩阵为2ααT+ββT． (2)若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12+y22．

admin2020-09-25 33

问题设二次型f(x₁，x₂，x₃)=2(a₁x₁+a₂x₂+a₃x₃)²+(b₁x₁+b₂x₂+b₃x₃)²，记

(1)证明二次型f对应的矩阵为2αα^T+ββ^T．
(2)若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y₁²+y₂²．

选项

答案(1)f=[*] =x^T(2αα^T)x+x^T(ββ^T)x=x^T(2αα^T+ββ^T)x. 故f的矩阵A=2αα^T+ββ^T． (2)由于α，β正交且为单位向量，则α^Tβ=β^Tα=0． ‖α‖=[*]=1，即α^Tα=1，β^Tβ=1． ∵Aα=(2αα^T+ββ^T)α=2α‖α‖²+ββ^Tα=2α，∴α为A对应于λ₁=2的特征向量．又Aβ=(2αα^T+ββ^T)β=2αα^T.β+β.β^Tβ=β. β为A对应于λ₂=1的特征向量． ∵r(A)=r(2αα^T+ββ^T)≤r(2αα^T)+r(ββ^T)=r(αα^T)+r(ββ^T)=2＜3， ∴λ₃=0．∴矩阵A的特征值为λ₁=2，λ₂=1，λ₃=0．故f在正交变换下的标准形为2y₁²+y₂²．

解析

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考研数学三

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设二次型f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，记 (1)证明二次型f对应的矩阵为2ααT+ββT． (2)若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12+y22．

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设α=(1，-1，a)T，β=(1，a，2)T，A=E+αβT，且λ=3是矩阵A的特征值，则矩阵A属于特征值λ=3的特征向量是_________

函数f(x)=上的平均值为________．

设矩阵A与B=相似，则r（A）+r（A一2E）=________。

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(2002年)设D1是由抛物线y=2x2和x=a，x=2及y=0所围成的平面区域；D2是由抛物线y=2x2和直线y=0，x=a所围成的平面区域，其中0＜a＜2。(I)试求D1绕x轴旋转而成的旋转体体积V1；D2绕y轴旋转而成的旋转体积V2；

设向量α1，α2，…，αt是齐次线性方程组．AX=0的一个基础解系，向量β不是AX=0的解，即Aβ≠0．试证明：向量组β，β+α1，β+α2，…，β+αt线性无关．

设A是任一n(n≥3)阶方阵，A是其伴随矩阵，又k为常数，且k≠0，±1，则必有(kA)=()．

当x→1时，f(x)=的极限为()。

[2016年]设二次型f(x1，x2，x3)=a(x12+x22+x32)+2x1x2+2x2x3+2x3x1的正、负惯性指数分别为1，2，则()．

设有n元实二次型f(x1，x2，…，xn)=(x1+a1x2)2+(x2+a2x3)2+…+(xn-1+an-1xn)2+(xn+anx1)2，其中ai(i=1，2，…，n)为实数．试问当a1，a2，…，an满足何种条件时，该

金属烤瓷全冠制作完成后，临床试冠时颈缘崩瓷，而金属基底冠边缘长短合适，分析造成的原因主要是

牛的瘤胃不具有的结构有

在计量组织的三种类型(监理独立计量、承包商独立计量、联合计量)中承包商独立计量就是指由承包商自行进行的计量。()

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随着我国进入全面建设小康社会新的发展阶段，统一战线也进入一个新的发展阶段，呈现出新的阶段性特征：空前的广泛性、巨大的包容性、鲜明的多样性和显著的社会性。统一战线发展呈现出新的阶段性特征表明()。

A、Theuniversityregardschemistryasunimportant.B、TheChemistrydepartmentisunder-funded.C、Thereisnotenoughspaceinth

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