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设A是n阶反对称矩阵, (Ⅰ)证明对任何n维列向量α,恒有αTAα=0; (Ⅱ)设A还是实矩阵,证明对任何非零实数c,矩阵A+cE恒可逆.
设A是n阶反对称矩阵, (Ⅰ)证明对任何n维列向量α,恒有αTAα=0; (Ⅱ)设A还是实矩阵,证明对任何非零实数c,矩阵A+cE恒可逆.
admin
2018-06-12
56
问题
设A是n阶反对称矩阵,
(Ⅰ)证明对任何n维列向量α,恒有α
T
Aα=0;
(Ⅱ)设A还是实矩阵,证明对任何非零实数c,矩阵A+cE恒可逆.
选项
答案
(Ⅰ)因为α
T
Aα是1×1矩阵,是一个数,故 α
T
Aα=(α
T
Aα)
T
=α
T
A
T
(α
T
)
T
=-α
T
Aα. 所以恒有α
T
Aα=0. (Ⅱ)如果矩阵A+cE不可逆,:则齐次方程组(A+cE)χ=0有非零实解,设其为η,则 Aη=-cη,η≠0. 左乘η
T
,得η
T
Aη=-cη
T
η≠0. 与(Ⅰ)矛盾.故矩阵A+cE恒可逆.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/vUg4777K
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考研数学一
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