设A是n阶反对称矩阵， (Ⅰ)证明对任何n维列向量α，恒有αTAα＝0； (Ⅱ)设A还是实矩阵，证明对任何非零实数c，矩阵A＋cE恒可逆．

admin2018-06-12 66

问题设A是n阶反对称矩阵，
(Ⅰ)证明对任何n维列向量α，恒有α^TAα＝0；
(Ⅱ)设A还是实矩阵，证明对任何非零实数c，矩阵A＋cE恒可逆．

选项

答案(Ⅰ)因为α^TAα是1×1矩阵，是一个数，故 α^TAα＝(α^TAα)^T＝α^TA^T(α^T)^T＝－α^TAα．所以恒有α^TAα＝0． (Ⅱ)如果矩阵A＋cE不可逆，：则齐次方程组(A＋cE)χ＝0有非零实解，设其为η，则 Aη＝－cη，η≠0．左乘η^T，得η^TAη＝－cη^Tη≠0．与(Ⅰ)矛盾．故矩阵A＋cE恒可逆．

解析

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