2. 考研
  3. 设A是n阶反对称矩阵， (Ⅰ)证明对任何n维列向量α，恒有αTAα＝0； (Ⅱ)设A还是实矩阵，证明对任何非零实数c，矩阵A＋cE恒可逆．

设A是n阶反对称矩阵， (Ⅰ)证明对任何n维列向量α，恒有αTAα＝0； (Ⅱ)设A还是实矩阵，证明对任何非零实数c，矩阵A＋cE恒可逆．

admin2018-06-12  65
问题 设A是n阶反对称矩阵，
    (Ⅰ)证明对任何n维列向量α，恒有αTAα＝0；
    (Ⅱ)设A还是实矩阵，证明对任何非零实数c，矩阵A＋cE恒可逆．
选项
答案(Ⅰ)因为αTAα是1×1矩阵，是一个数，故 αTAα＝(αTAα)T＝αTAT(αT)T＝－αTAα． 所以恒有αTAα＝0． (Ⅱ)如果矩阵A＋cE不可逆，：则齐次方程组(A＋cE)χ＝0有非零实解，设其为η，则 Aη＝－cη，η≠0． 左乘ηT，得ηTAη＝－cηTη≠0． 与(Ⅰ)矛盾．故矩阵A＋cE恒可逆．
解析
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考研数学一

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